Hola, bienvenida al foro y feliz 2014.
Yo me lío mucho con esto, y aunque en teoría debería ya dominarlo, no lo sé, así que vengo más que nada para reescribir tu mensaje para que quien pueda ayudarte lo tenga fácil.
1º- Sabes que esta matriz: \( \begin{bmatrix}{0}&{1}\\{0}&{0}\end{bmatrix} \) no es diagonalizable y tiene 1 valor propio, y te piden que halles una matriz \( 3\times{}3 \) que le pase lo mismo. Tu propones \( \begin{bmatrix}{0}&{0}&{1}\\{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0}\end{bmatrix} \).
2º- ¿Puede haber ejemplos de 2 matrices \( 3\times{}3 \) con polinomio característico igual a \( (x -1)(x - 2) \) pero distinto polinomio mínimo?
A ver, yo creo que no, porque el polinomio mínimo no es más que el polinomio característico solo que con los menores grados posibles (o almenos eso creo). Pero vamos, no te fíes mucho.
3º- Sea f el endomorfismo de \( \mathbb{R}^3 \)definido, respecto de la base canónica, por la siguiente matriz:
\( A = \begin{bmatrix}{1}&{0}&{-2}\\{1}&{1}&{2}\\{2}&{-2}&{6}\end{bmatrix} \). ¿es diagonalizable? Halla una matriz regular \( P \) tal que \( P^{-1}AP \) sea la forma de Jordan de A. Explica el procedimiento seguido.
Para ver si es diagonalizable creo que basta con buscar los autovalores. Si los 3 distintos es diagonalizable, si hay alguno doble (o triple) tienes que ver los autovectores. Si tienen un autovector distinto cada uno entonces es diagonalizable, sino es que no lo es.
4º- Hay matrices de endomorfismos \( \mathbb{R}^2 \) que no tienen ningún valor propio real.
Yo creo que lo que tienes es correcto, solo te faltaría poner el ejemplo de una matriz que sea así. Pero repito, no ando muy sobrado en este tema.
5º- Si A es matriz de un endomorfismo de \( \mathbb{R}^4 \), y sabemos que \( A^4 - I_4 = 0 \), entonces \( A = I_4 \) o \( A = -I_4 \)
La intuición me dice que con matrices se puede hacer raíces normales, así que eso significa que no se pueden hacer, por lo que hay algún método para realizar raíces de matrices (He aprendido con el tiempo de hacer lo contrario de lo que mi intuición me dice), pero cuál no tengo ni idea. Lo que sí puedo decirte, y esta sí es una segunda intuición fiable, es que si estás en el tema de autovalores y autovectores digo yo que tendrá alguna relación con raíces cuartas de los autovalores de una matriz y los de otra. Pero claro, repito que esto no lo domino (de hecho esto ni siquiera lo vi)
6º- Sea \( B = \{ e_1,e_2,e_3e_4 \} \) la base canónica de \( \mathbb{R}^4 \)y \( f:\mathbb{R}^4\longrightarrow{}\mathbb{R}^4 \) un endomorfismo del que se sabe:
- \( f(e_1) = e_1 + e_3 \)
- \( ker(f)=<e_1 + e_3, e_2 - e_4> \)
- \( e_2 + e_3 \) es un vector propio
- los únicos autovalores son 0 y 2
Se pide:
(a) Determinar la matriz asociada a f respecto de la base canónica.
(b) ¿Es f diagonalizable? ¿ Cuál es el polinomio característico de f?
Una vez se tiene el (a) el (b) es mecánico.
Y este tipo de problemas suelen aparecer, el de construir cosas a partir de unas características son muy clásicos del álgebra lineal, (a mi me caen en cada exámen y mi profesor me dice que le gustan mucho este tipo de problemas)
Si te dicen que la imagen del primer vector de la base es \( e_1 + e_3 \) entonces (creo) te están diciendo que la primera columna es \( (1, 0, 1, 0) \).
Después te dicen que el ker está formado por esos vectores, pero también más adelante te dicen que los autovalores son 0 y 2. Por lo tanto, esos 2 vectores son los vectores propios asociados al 0. Que junto con la 3º condición implica que \( e_2 + e_3 \) es un autovector asociado al 2, \( e_1 + e_3 \) y \( e_2 - e_4 \) son autovectores asociados al 0. Luego sabes que la matriz que tengas por esos vectores darán 2 y 0, dependiendo de por cuáles multipliques, así que te quedarían 3 columnas por saber y podría sacar un sistema (grandecito) para poder calcularlo todo.
Pero claro, vuelvo a repetir que no voy sobrado en esto, aunque sinceramente yo creo que esto que estoy haciendo no va tan desencaminado, aunque luego puede que haya formas más fáciles o que incluso si yo me pusiera a ello no fuese capaz de sacarlo.
Saludos.
