[Michel]

Sea ABCD un trapecio isósceles, con bases AB y CD, siendo AB = BC.
Si O es el circuncentro, demostrar que BO es bisectriz del ángulo ABC.

[elcristo]

Creo que hay un fallo en el enunciado. AB no puede ser igual a BC. Si es así la única posibilidad es que sea un cuadrado. Creo yo que AD=BC, almenos haré el problema con un trapecio así.

Si O es el circuncentro entonces una circunferencia O es tangente a los 4 lados del trapecio. Radio cual sea, existe una. Si es tangente a los lados del trapecio, en concreto lo es al lado AB y BC. Por ser tangente, en el punto de tangencia hay una recta perpendicular al lado que pasa por el centro de la cirunferencia.

Con esas 2 rectas se forma una especie de cometa de vértices B,O y los puntos de tangencia, que los llamaré E al del lado BC y F al del lado AB.

Sabemos también que los lados OE y OF son iguales por ser radios de la circunferencia. Entonces unimos O con B, formando así 2 triángulos rectángulos.

Esos 2 triángulos tienen hipotenusa común y un cateto de la misma longitud, luego son congruentes, por lo tanto los ángulos FBO y EBO son iguales, lo que implica que O está en la bisectriz de ABC.

Saludos.

[Michel]

Hola elcristo.

¿Por qué AB no puede ser igual a BC?

AD=BC porque se trata de un trapecio isósceles, que tiene iguales los lados no paralelos.

Circuncentro de un polígono es el centro de la circunferencia que pasa por los vértices, no la que es tangente a los lados.

Este es mi solución al problema: Por ser iguales los lados AB, BC y AD, los tres triángulos isósceles AOB, BOC y DOA son iguales (tienen respectivamente iguales los tres lados); por tanto, los ángulo designados con 1 son iguales, de donde se deduce que BO es bisectriz del ángulo ABC.

Saludos.