Hola ¿Podriais ayudarnos?
Considera la siguiente matriz ortogonal real de tamaño 2x2:
\( J=\begin{bmatrix}{c}&{s}\\{-s}&{c}\end{bmatrix} \) ,
donde \( s=\sen \theta \) y \( c=\cos \theta \) para algún número real \( \theta \). Estas matrices producen giros de ángulo \( \theta \). Sea ahora
\( A=\begin{bmatrix}{a}&{d}\\{d}&{b}\end{bmatrix} \) una matriz real simétrica cualquiera.
(a) Demuestra que \( J^TAJ \) es diagonal si y sólo si \( \tan(2\theta)=\displaystyle\frac{2d}{b-a} \). A las matrices de rotación J con este valor se les llama rotaciones de Jacobi.
Hemos demostrado la implicación hacia la derecha, es decir, \( J^TAJ \) es diagonal entonces \( \tan(2\theta)=\displaystyle\frac{2d}{b-a} \)
(b) Sea ahora, \( Q\in{\mathbb{R}^{nxn}} (n\geq{2}) \) una matriz que sólo difiere de la identidad en que la submatriz \( Q([i\ j],[j\ i])=J \) para algún valor de\( \theta \). Demuestra que Q es ortogonal y que si \( A\in{\mathbb{R}^{nxn}} \) es una matriz simétrica, existe \( \theta \in{\mathbb{R}} \) tal que para \( B=Q^TAQ \) se tiene B(i,j)=B(j,i)=0.
(c) Para una matriz simétrica S\( \in{\mathbb{R}^{nxn}} \) sea
off(S)=\( \sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}{\displaystyle\sum_{j=1,j\neq{i}}^n{a_{ij}^2}}} \)
Demuestra que las matrices A y B del apartado (b) satisfacen la siguiente identidad: \( off(B)^2=off(A)^2-2a_{ij}^2 \).
Este es el fundamento del método de Jacobi para reducir una matriz simétrica a forma diagonal. Este consiste en seleccionar pares de elementos diagonales A(i,i) y A(j,j) y usar rotaciones de Jacobi para anular los elementos A(i,j)=A(j,i). Los nuevos ceros introducidos pueden destruir los ya obtenidos, pero el balance global en cada paso es que la suma de todos los elementos no diagonales(al cuadrado) disminuye. La repetición de este proceso fila a fila reduce la matriz a una matriz casi diagonal en el sentido de que los elementos no diagonales de tal matriz son casi cero. La convergencia es al principio lineal, pero a medida que avanza el proceso, se acelera. y llega a ser cuadrática una vez que todos los elementos no diagonales (\( \displaystyle\frac{n(n-1)}{2}) \) han sido seleccionados una vez. No obstante, el método de Jacobi no es competitivo frente a los algoritmos QR simétrico o divide y vencerás.
Esta vez serán dos cenas
Muchísimas gracias!
