Hola a todos,
¿Nos podríais ayudar?
(a) Demuestra que una matriz \( A\in{\mathbb{C}^{n\times n}} \) es hermítica (A=A*) si y sólo si es unitariamente diagonalizable y todos sus valores propios son números reales.
Hemos conseguido demostrar la impicación hacia la derecha, es decir, que si A es hermítica entonces es unitariamente diagonalizable y todos sus valores propios son números reales. Nos falta la otra implicación.
(b)Sea \( A\in{\mathbb{C}^{n\times n} \) una matriz en forma Hessenberg superior. Supongamos que es irreducida(todos los elementos en la sub-diagonal distintos de cero). Demustra que es diagonalizable si y sólo si todos sus valores propios son distintos.
(c) Prueba, como consecuencia de (a) y (b), que si A es hermítica y Hessenberg (por tanto tridiagonal) irreducida entonces todos los valores propios de A son distintos.
(d) Por el contrario, sea \( A\in{\mathbb{C}^{n\times n}} \) una matriz Hessenberg superior(no hermítica) irreducida. Da un ejemplo que muestre que los valores propios de A no son necesariamente distintos.
(Indicaciones: Para el apartado (b) prueba que para todo \( \lambda \in{\mathbb{C}} \), \( rang(\lambda I_n -A)\geq{m-1} \) y estudia las multiplicidades algebraica y geométrica).
Gracias de nuevo.
