Entiendo que x=-2 del primer vector y la x=2 del segundo vector podrían ser CUALQUIER VALOR porque la x no interviene en tu ecuación, ¿no? ¿o tendría que ser proporcional?
Sí, pero también “y” o “z” pueden tener cualquier valor, lo que ocurre es que si le das el valor, qué sé yo, tres, por ejemplo, a “y”, entonces “z” ya se ve obligada también a valer tres, porque ambas son iguales dado lo que nos dice el sistema. En cambio, en el caso de “x”, sólo es igual a sí misma, cuando se fija su valor, no afecta al de las otras variables.
Es decir, para que quede más claro, habíamos sacado de las parmétricas el vector general
\( (\lambda,\beta,\beta) \)
que representa, en un solo vector, a los dos vectores de la base;
Haciendo lambda -2 y beta también -2 tienes el vector (-2,-2,-2)
y haciendo lambda=2 y beta=-2 tienes el otro vector.
En cuanto a la imagen, lo primero es también calcular su dimensión; y eso lo calculas sabiendo que la dimensión de la imagen más la dimensión del Ker es igual a la dimensión del espacio de salida, o sea, la dimensión del espacio general en que trabajas, que en este caso es de tres dimensiones. Luego como la dimensión del Ker es 2, la dimensión de la imagen es 1; porque 2+1=3. Ahora, vale con tomar un vector de la matriz asociada y ya tienes el vector de la imagen. Si la imagen, en otro problema, fuera de mayor dimensión, por ejemplo de dimensión 2, tendrías que tomar dos vectores de la matriz asociada, pero linealmente independientes, claro. El vector para la base de la imagen tienes que tomarlo vertical, no horizontal, por ejemplo, puede ser (0,4,0).
Saludos.
