¡Hola a todos!
tengo un problema con este ejercicio, ¿me podríais ayudar?
Sea G=\( \left<{a}\right> \) isomorfo a \( C_4 \) un grupo cíclico de orden 4 y \( V=\mathbb{C}^4 \) su módulo (complejo) regular (que construimos haciendo actuar G sobre los vectores de la base canónica).
i) Dar la representación \( \chi \) definida por V.
ii) ¿Cuáles de los siguientes subespacios de V son submódulos?
\( \left<{(1,0,1,0),(0,1,0,1)}\right> \), \( \left<{(1,1,0,0),(0,0,1,1)}\right> \), \( \left<{(1,0,-1,0),(0,1,0,-1)}\right> \)
iii) Descomponer V como suma directa de sunmódulos de dimensión 2. ¿Qué representación \( \chi \)' se obtiene a partir de esta descomposición? ¿Qué relación hay entre \( \chi \) y \( \chi \)'?
iv) Teniendo en cuenta ii), descomponer ahora V como suma directa de submódulos de dimensión 1. ¿Qué representación \( \chi \)'' se obtiene? ¿Qué relacion tiene con \( \chi \)?
v) ¿Cómo cambiaría el problema si se considerara \( \mathbb{R} \) en lugar de \( \mathbb{C} \)? ¿Y si se considerara un cuerpo algebraicamente cerrado de característica 2?
Muchas gracias! Saludos!
