Hola
Bienvenido al foro.
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tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.
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Por esta vez te lo he corregido, escribiendo explícitamente en el mensaje el contenido del mismo.
En cuanto al problema:
1) No estoy seguro de si se refiere a la matriz asociada tomando en el espacio inicial la base \( B_1 \) y en el final la base \( B_2 \) o a calcular dos matrices distintas, una tomando en ambos espacios la base \( B_1 \) y otra tomando en ambos la \( B_2 \).
En cualquier caso los pasos para calcular la matriz asociada a una aplicación lineal \( D \) respecto a la base \( B_1 \) del espacio inicial y \( B_2 \) del final (y es válido si las bases son iguales) son:
i) Calcular las imágenes de los vectores de la base \( B_1 \) de partida.
ii) Expresar tales imágenes en coordenadas respecto de la base \( B_2 \).
iii) Tales coordenadas forman las columnas de la matriz buscada.
Además puede ser útil las fórmulas de cambio de base, ya que aunque nos obliguen a trabajar en otras bases, suel ser más cómodo iniciar los cálculos en la canónica.
Si denotamos por \( D_{B_2B_1} \) la matriz que indiqué antes y \( D_{B_2'B_1'} \) la matriz análoga en nuevas bases, se tiene que:
\( D_{B_2'B_1'}=M_{B_2'B_2}D_{B_2B_1}M_{B_1B_1'} \)
donde \( M_{B_1B_1'} \) es la matriz cuyas columnas son las coordenadas respecto de la base \( B_1 \) de los vectores de la base \( B_2 \).
Se tiene además que:
\( M_{B_1B_1'}=M_{B_1'B_1}^{-1} \)
En tu caso es fácil calcular \( D_{B_1B_1} \). La base canónica es \( B_1=\{1,t,t^2\} \)
\( D(1)=0=0\cdot 1+0\cdot t+0\cdot t^2=(0,0,0)_{B_1} \)
\( D(t)=1=1\cdot 1+0\cdot t+0\cdot t^2=(1,0,0)_{B_1} \)
\( D(t^2)=2t=0\cdot 1+2\cdot t+0\cdot t^2=(0,2,0)_{B_1} \)
Por tanto la matriz asociada es:
\( D_{B_1B_1}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 2\\0 & 0& 0\\\end{pmatrix} \)
Con la fórmula de cambio de base que cité antes y teniendo en cuenta que en tu caso:
\( M_{B_2B_1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0\\1 & 1& 1\\\end{pmatrix} \)
puedes calcular ahora la matriz asociada en las bases que desees.
En cuanto al núcelo (kernel) son los vectores cuya imagen son cero.
La imagen está generada por los vectores cuyas coordenadas son las columnas de la matriz asociada.
Saludos.
