[Esklus]

Buenas, estoy un poco atascado en un problema, a ver si podeís ayudarme. El enunciado es el siguiente:
"En una base \( e_1, e_2 \) de un espacio vectorial euclideo de dimensión \( 2 \), una rotación \( f \) tiene por matriz:
\( M = \begin{bmatrix} 1 & \frac{-3}{2}\\ \frac{2}{3} & 0 \end{bmatrix} \)
¿Cúal es el ángulo de la rotación?¿Y el ángulo entre los vectores \( e_1 \) y \( e_2 \)?¿Cúal es la razón \( \frac{||e_2||}{||e_1||} \)?"

Haciendo cálculos he encontrado que el ángulo de la rotación es 60º, aunque no estoy del todo seguro. Lo que no sé cómo hacer es para calcular el ángulo entre vectores, porque aunque podría usar que al ser \( f \) un endomorfismo ortogonal se conserva el producto escalar y entonces \( cos \alpha = \frac{e_1 \cdot e_2}{||e_1||\cdot||e_2||} = \frac{f(e_1) \cdot f(e_2)}{||f(e_1)||\cdot||f(e_2)||} \) no puedo saber cuánto da \( f(e_1) \cdot f(e_2) \) ya que no tengo la matriz de Gram. ¿Cómo debería proceder?

Muchas gracias por vuestra atención.

[Luis Fuentes]

Hola

 Teniendo en cuenta que la traza y determinante de una matriz se conserva por semejanza (transformaciones del tipo \( PAP^{-1} \) ), todas las trazas de las matrices asociadas a un mismo endomorfismo son iguales.

 La matriz de una rotación respecto a una base ortonormal con orientación positiva es:

\( \begin{pmatrix}{cos(\alpha)}&{-sin(\alpha)}\\{sin(\alpha)}&{cos(\alpha)}\end{pmatrix} \)

 Por tanto en tu caso se tiene:

 \( 1+0=2cos(\alpha) \)

 y así \( cos(\alpha)=1/2 \).

 No podemos distinguir si el ángulo es de \( 60 \) o \( -60 \) grados, sin que nos aclaren la orientación de la base dada.

 Ahora si llamamos \( C \) a una base ortonormal podemos suponerla orientada para que en tal base la matriz de la rotación sea:

\( R_C=\begin{pmatrix}{1/2}&{-\sqrt{3}/2}\\{\sqrt{3}/2}&{1/2}\end{pmatrix} \)

 Si denotamos a las coordenadas de los vectores dados en esa base:

\(  e_1=(x,y)_C,\qquad e_2=(z,t)_C \)

 La matriz de cambio de base es:

\(  M_{CB}=\begin{pmatrix}x & z\\ y & t\\ \end{pmatrix} \)

 Y se tiene que:

\(  M_{CB}R_B=R_CM_{CB} \)

 De ahí podrás hallar \( x,y,z,t \). Una vez que tengas los vectores expresados en una base ortonormal es fácil calcular sus normas, ángulos, ...

Saludos.