Hola
Tienes que aplicar el Teorema de Clasificación de Grupos Abelianos Finitos.
Puedes consultarlo por aquí:
http://www.ub.edu/modeltheory/documentos/cga.pdf Esencialmente la idea es que si \( p,q \) son coprimos entonces \( Z_p\times Z_q\approx Z_{pq} \).
Y sin embargo hay tantos grupos de orden \( p^k \) con \( p \) primo como formas de agrupar las potencias de \( k \).
Por ejemplo teniendo en cuenta que \( 1008=2^4\cdot 3^2\cdot 7 \).
Los \( 2 \)-subgrupos pueden descomponerse de las siguientes formas no isomorfas:
\( Z_{2^4},Z_2\times Z_{2^3},Z_{2^2}\times Z_{2^2},Z_2\times Z_2\times Z_{2^2} \) ó \( Z_2\times Z_2\times Z_2\times Z_2 \)
Es decir de tantas formas como particiones de \( 4 \):
\( 4,1+3,2+2,1+1+2,1+1+1+1 \)
Análogamente los \( 3 \)-grupos pueden descomponerse de tantas formas como particiones de \( 2 \):
\( 2,1+1 \)
Obviamente para el \( 7 \)-subgrupo sólo hay una opción.
En total \( 5\cdot 2\cdot 1=10 \) grupos ablelianos diferentes de orden \( 1008 \).
Saludos.
