[juantv]

Tengo dudas acerca de si esta proposición es falsa o verdadera

"Si el polinomio característico de una matriz es de grado \( n \) entonces la matriz es de tamaño \( n\times n \)"

Mi intento :

Pues en mi libro aparece (sin demostración) que es cierto lo siguiente:

Si A es de tamaño \( n\times n \) entonces el polinomio característico es de grado \( n \) (¿alguien podría darme un enlace donde se demuestre esto de forma "elemental"?)

Mas no veo inmediato que el recíproco sea cierto pero tampoco logro dar un contraejemplo.

Agradezco su orientación al respecto.

[Luis Fuentes]

Hola

 Sea \( A \) de tamaño \( n\times n \).

 La definición de polinomio característico de una matriz es:

\(  p(\lambda)=det(A-\lambda Id) \)

 Por definición de determinante, en cada monomio del desarrollo del determinante de una matriz \( n\times n \) aparecen multiplicados un término de cada fila y de cada columna. De ahí se deducen dos cosas:

 - En \( p(\lambda) \) aparece el término \( (a_{11}-\lambda)(a_{22}-\lambda)\ldots (a_{nn}-\lambda) \).

 - En cualquier otro monomio del desarrollo del determinante aparece \( \lambda \) con exponente menor que \( n \).

 Al desarrollar \( (a_{11}-\lambda)(a_{22}-\lambda)\ldots (a_{nn}-\lambda) \) aparece el término \( (-\lambda)^n \) y de lo anterior se concluye que es el de mayor exponente del desarrollo de \( p(\lambda) \) por tanto \( grado(p(\lambda))=n \).

Saludos.

[juantv]

Creo que lo primero lo he asimilado.

y, ¿ respecto al reciproco?

es decir:

Si \( p(\lambda) \) tiene grado \( n \) entonces la matriz cuyo polinomio característico es \( p(\lambda) \) es de tamaño \( n\times n \)

¿Es esto cierto?

PD: No logro encontrar un contraejemplo para decir que esta proposición es falsa, por lo que empiezo a creer es cierta.


Agradezco su orientación al respecto.

[pierrot]

Si \( p(\lambda) \) tiene grado \( n \) entonces la matriz cuyo polinomio característico es \( p(\lambda) \) es de tamaño \( n\times n \)

La afirmación debiera ser:

Si \( p(\lambda) \) tiene grado \( n \) entonces una matriz con polinomio característico \( p(\lambda) \) es de tamaño \( n\times n \)

Recuerda que hay muchas matrices que tienen igual polinomio característico.

Simplemente, ten en cuenta que si fuera de tamaño \( m\times m \) con \( m\neq n \) su polinomio característico tendría grado \( m \) luego \( p(\lambda) \) no sería su polinomio característico, contradicción.

[feriva]

¿Es esto cierto?

PD: No logro encontrar un contraejemplo para decir que esta proposición es falsa, por lo que empiezo a creer es cierta.


Agradezco su orientación al respecto.

Pues claro, si el_manco te dice que en el polinomio aparece el término\( (a_{11}-\lambda)(a_{22}-\lambda)\ldots(a_{nn}-\lambda) \) en la matriz tiene que existir por fuerza el término \( a_{nn} \) (sobreentendiendo que no hay filas ni columnas con todos los elementos nulos).

Saludos.

[juantv]

Creo que lo asimile. Entonces el reciproco, con esa observación que han hecho, es cierto


Gracias a todos