[juantv]

Buenas,

no he logrado proceder mucho con el siguiente ejercicio:



sea A la matriz cuyos espacios propios son :

\( E_3 = gen \left\{{ \left[{\begin{array}{ccc}{1}\\{3}\\{4}\end{array}\right] ; \left[{\begin{array}{ccc}{-1}\\{1}\\{0}\end{array}\right] }\right\} \)  y \( E_0 = gen \left\{{ \left[{\begin{array}{ccc}{2}\\{2}\\{0}\end{array}\right]  }\right\} \)

y \( T: P_2 \rightarrow{P_2} \) ; cuya matriz asociada en las respectivas bases usuales, es A

nota : \( P_2  \) es el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a 2

Diga si las siguientes afirmaciones son falsas o verdaderas

no he logrado responder satisfactoriamente en dos, así que solo pongo esas

c. \( 1+3x+4 x^2 \in Im T \)

d. \( 2 + 2x \in Im T \)


Mi intento :

c.
 
debo encontrar el v tal que \( T(v) = 1 + 3x + 4 x^2 \)

como \( [T(v)]_B = A[v]_B = \left[{\begin{array}{ccc}{1}\\{3}\\{4}\end{array}\right] \)

pero como \( \left[{\begin{array}{ccc}{1}\\{3}\\{4}\end{array}\right] \) es un vector propio

tendre que \( A \left[{\begin{array}{ccc}{1}\\{3}\\{4}\end{array}\right] = 3 \left[{\begin{array}{ccc}{1}\\{3}\\{4}\end{array}\right] \)

luego \( A \left[{\begin{array}{ccc}{1/3}\\{1}\\{4/3}\end{array}\right] = \left[{\begin{array}{ccc}{1}\\{3}\\{4}\end{array}\right] \)

osea que \( [v]_B = \left[{\begin{array}{ccc}{1/3}\\{1}\\{4/3}\end{array}\right]  \)

y finalmente tendré \( v = 1/3 + x + (4/3) x^2 \)  , de donde concluyo que \( 1+3x+4 x^2 \in Im T \)


d.

en este tengo problemas

debo encontrar v tal que \( T(v) = 2 + 2x \)

intento proceder del mismo modo que en el literal b, pero me sale


\( A[v]_B = \left[{\begin{array}{ccc}{2}\\{2}\\{0}\end{array}\right] \)

y tengo que como \( \left[{\begin{array}{ccc}{2}\\{2}\\{0}\end{array}\right] \) es vector propio

\( A \left[{\begin{array}{ccc}{2}\\{2}\\{0}\end{array}\right] = 0 \left[{\begin{array}{ccc}{2}\\{2}\\{0}\end{array}\right] \)

de donde no obtengo lo que espararia

en cambio obtengo que como \( [v]_B = \left[{\begin{array}{ccc}{2}\\{2}\\{0}\end{array}\right] \) pertence al espacio nulo de A, entonces \( v = 2+2x \) pertenece al nucleo de T.

(ademas por aparte, concluyo que T no es isomorfismo)

mas no obtengo información acerca de si pertenece o no a la imagen de T, que es lo que me preguntan




¿Como debo proceder para saber si \( 2+2x \) pertenece a la imagen de T (es decir ¿\( 2+2x \in Im T  \) ?) ?




Agradezco su orientación al respecto

[Luis Fuentes]

Hola

 El primero lo tienes bien, aunque te complicas más de lo necesario.

 El ejercicio simplemente te pide averiguar si un determinado vector está en la imagen, pero no necesariamente que especifiques de que vector es imagen.

 La clave de todo el asunto es que dado que conoces los autovectores, conoces los generadores de la imagen: son los autovectores asociados a autovalores no nulos.

 Por tanto en tu caso:

\(  Im(T)=\color{red}gen\color{black}\{(1,3,4)_C,(-1,1,0)_C\} \)

 (por \( (a_0,a_1,a_2)_C \) estoy denotando las coordenadas en la base canónica del polinomio \( a_0+a_1x+a_2x^2 \))

 Para ver si un vector está en la imagen basta comprobar si es combinación lineal de los vectores que la generan; equivalentemente si la matriz formada por las coordenadas de los generadores y del tercer vector en discordia, tiene rango dos.

Saludos.

CORREGIDO

[juantv]

Por tanto en tu caso:

\(  Im(T)=\{(1,3,4)_C,(-1,1,0)_C\} \)

 (por \( (a_0,a_1,a_2)_C \) estoy denotando las coordenadas en la base canónica del polinomio \( a_0+a_1x+a_2x^2 \))

 Para ver si un vector está en la imagen basta comprobar si es combinación lineal de los vectores que la generan; equivalentemente si la matriz formada por las coordenadas de los generadores y del tercer vector en discordia, tiene rango dos.

Saludos.

osea que para comprobar que un vector está en la imagen basta comprobar si el vector de coordenadas es combinación lineal de los vectores de coordenadas de los vectores que la generan. ¿verdad?

así pues, si quiero saber si el vector ¿\( 2 + 2x \in Im T \)? basta con saber si \( ¿ [2 + 2x]_B = \left[{\begin{array}{ccc}{2}\\{2}\\{0}\end{array}\right] \in gen \left\{{ \left[{\begin{array}{ccc}{1}\\{3}\\{4}\end{array}\right] ; \left[{\begin{array}{ccc}{-1}\\{1}\\{0}\end{array}\right] }\right\} ? \)

como ya comprobé que \( \left[{\begin{array}{ccc}{2}\\{2}\\{0}\end{array}\right] \not\in{} gen \left\{{ \left[{\begin{array}{ccc}{1}\\{3}\\{4}\end{array}\right] ; \left[{\begin{array}{ccc}{-1}\\{1}\\{0}\end{array}\right] }\right\}  \)

concluyo que \( 2 + 2x \not\in{} Im T \)

¿Es correcto lo que he hecho?


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si me preguntan si un vector pertenece al núcleo de T, tendría que ver si es combinación lineal de los vectores propios asociados a los valor propio 0, ¿cierto?

pero si me hubieran dicho que los espacios propios son

\( E_{-2} = gen \left\{{ \left[{\begin{array}{ccc}{1}\\{3}\\{4}\end{array}\right] ; \left[{\begin{array}{ccc}{-1}\\{1}\\{0}\end{array}\right] }\right\} \) y \( E_1 = gen \left\{{ \left[{\begin{array}{ccc}{1}\\{1}\\{-1}\end{array}\right]  }\right\} \)

y me preguntan ¿\( 2 + 2x \in Nu T \)?

como no esta el 0 como valor propio, no puedo saber si \( 2 + 2x \) es combinación lineal de los vectores propios asociados a un \( E_0 \) porque no existe este espacio propio.

entonces, ¿como doy cuenta si \( 2 + 2x \in{Nu T} \) ? ¿acaso debo decir que el núcleo de T será \( Nu T = \left\{{0}\right\} \) y por tanto \( 2 + 2x \not\in{} {Nu T} \), pero como justificarlo siguiendo el razonamiento que me has dado?






Agradezco su orientación al respecto

[Luis Fuentes]

Hola

osea que para comprobar que un vector está en la imagen basta comprobar si el vector de coordenadas es combinación lineal de los vectores de coordenadas de los vectores que la generan. ¿verdad?

así pues, si quiero saber si el vector ¿\( 2 + 2x \in Im T \)? basta con saber si \( ¿ [2 + 2x]_B = \left[{\begin{array}{ccc}{2}\\{2}\\{0}\end{array}\right] \in gen \left\{{ \left[{\begin{array}{ccc}{1}\\{3}\\{4}\end{array}\right] ; \left[{\begin{array}{ccc}{-1}\\{1}\\{0}\end{array}\right] }\right\} ? \)

como ya comprobé que \( \left[{\begin{array}{ccc}{2}\\{2}\\{0}\end{array}\right] \not\in{} gen \left\{{ \left[{\begin{array}{ccc}{1}\\{3}\\{4}\end{array}\right] ; \left[{\begin{array}{ccc}{-1}\\{1}\\{0}\end{array}\right] }\right\}  \)

concluyo que \( 2 + 2x \not\in{} Im T \)

¿Es correcto lo que he hecho?

Bien.

si me preguntan si un vector pertenece al núcleo de T, tendría que ver si es combinación lineal de los vectores propios asociados a los valor propio 0, ¿cierto?

Cierto.

pero si me hubieran dicho que los espacios propios son

\( E_{-2} = gen \left\{{ \left[{\begin{array}{ccc}{1}\\{3}\\{4}\end{array}\right] ; \left[{\begin{array}{ccc}{-1}\\{1}\\{0}\end{array}\right] }\right\} \) y \( E_1 = gen \left\{{ \left[{\begin{array}{ccc}{1}\\{1}\\{-1}\end{array}\right]  }\right\} \)

y me preguntan ¿\( 2 + 2x \in Nu T \)?

Si el cero no es valor propio, entonces el núcleo es el espacio trivial nulo. Es decir el único vector del núcleo sería el vector cero.

Saludos.

[juantv]

 La clave de todo el asunto es que dado que conoces los autovectores, conoces los generadores de la imagen: son los autovectores asociados a autovalores no nulos.

 Por tanto en tu caso:

\(  Im(T)=\{(1,3,4)_C,(-1,1,0)_C\} \)

 (por \( (a_0,a_1,a_2)_C \) estoy denotando las coordenadas en la base canónica del polinomio \( a_0+a_1x+a_2x^2 \))

 Para ver si un vector está en la imagen basta comprobar si es combinación lineal de los vectores que la generan; equivalentemente si la matriz formada por las coordenadas de los generadores y del tercer vector en discordia, tiene rango dos.

Saludos.

me pregunto si quisiste decir

\(  Im(T)= gen \{1+3x+4x^2,-1+x\} \)

solo por adecuarlo a la notación a la que estoy acostumbrado , ¿es lo mismo verdad? (aunque te falta el \( gen \) y que no coloco el conjunto generador como los vectores cuyas coordenadas son tales sino que pongo directamente los vectores)

Espero que lo que dije sea cierto



Gracias

[Luis Fuentes]

Hola

me pregunto si quisiste decir

\(  Im(T)= gen \{1+3x+4x^2,-1+x\} \)

solo por adecuarlo a la notación a la que estoy acostumbrado , ¿es lo mismo verdad? (aunque te falta el \( gen \) y que no coloco el conjunto generador como los vectores cuyas coordenadas son tales sino que pongo directamente los vectores)

Si, me falto el "gen" o alguna notación equivalente. Por lo demás yo denoté a los vectores (polinomios en este caso) por sus coordenadas en la base canónica y tu lo haces explícitamente, pero es esencialmente lo mismo.

Saludos.