Primero tienes que hallar el inverso de 43 módulo 60. Eso es resolver la congruencia
\( 43x\equiv 1\pmod{60} \)
o equivalentemente, la siguiente ecuación diofántica
\( 43x+60k=1 \)
Para eso usa el
algoritmo extendido de Euclides.
Una vez resuelta esa congruencia, llegarás a que \( d=7 \). Por último hay que desencriptar cada bloque. Hagámoslo para \( b_1 \) a modo de ejemplo. Tenemos que calcular
\( 12^7\pmod{77} \)
Naturalmente, podríamos multiplicar \( 12\times 12\times \cdots\times 12 \) (siete veces) y hallar el resto al dividir entre 77 pero eso es poco práctico. Lo que hacen las computadores es aplicar un método que se llama
exponenciación rápida. Para hacer las cuentas a mano, te aconsejo que expreses el exponente en base 2:
\( 7=(111)_2=2^2+2^1+2^0 \)
Entonces \( 12^7=12^4\cdot 12^2\cdot 12 \). Se tiene que
\( 12^2=144\equiv -10\equiv 67\pmod{77} \)
luego
\( 12^4=(12^2)^2\equiv (-10)^2=100\equiv 23\pmod{77} \)
Así,
\( 12^7=12^4\cdot 12^2\cdot 12\equiv 67\cdot 23\cdot 12\equiv 12\pmod{77} \)
12 corresponde a la letra C, de ahí sale la primer letra de "CORRECTO".
