[Dogui]

El ejercicio es el siguiente:

Decir si es Verdadero o Falso. Demostrar
Si \( \displaystyle\int_{0}^{4} [2x - f(x)]dx\ = 10 \) , entonces \( \displaystyle\int_{0}^{4} f(x) = -10 \)

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Yo realicé lo siguiente: reemplacé la integral 2 en la integral 1:

\(  \displaystyle\int_{0}^{4} 2x\ dx +10 = 10  \)  resolviendo quedaría:

\(  4^2 +10 - 0^2 - 10 = 10  \)

\(  16 = 10  \)   \( !\exists{}  \)

Por lo que la sentencia del ejercicio sería Falsa.

Pero realmente no se si tiene sentido esto que hice... También probé otras maneras pero ninguna llegó a buen puerto.
Gracias por su ayuda!

[elcristo]

La integral de la suma es la suma de las integales, luego:

\( \displaystyle\int_{0}^{4} 2x - f(x)dx = \displaystyle\int_{0}^{4} 2x - \displaystyle\int_{0}^{4}f(x)dx= 10 \)

\(  \displaystyle\int_{0}^{4} 2x\ dx = x^2]_{0}^4 = 16  \)

\( 16 + 10 = 10  \), no tiene sentido, luego es falsa.

No se exactamente que fue lo que hiciste, pero si lo que quieres es poner todas las operaciones en fila sería estas:

\(  4^2 - 0^2 \)(Por la regla de barrow, una integral definida entre b y a es el valor de la integral en a menos el valor en b) \( 10 - 10 = 10 \)Aquí no se que hiciste, te dice que la integral entre 0 y 4 es -10, no tienes que poner -10 y -(-10) como si usases la regla de barrow otra vez porque lo que te dan ya es el valor final de esa integral.

[Dogui]

Muchas gracias elcristo! Le pifié con lo de que la segunda ya estaba integrada, en el resto creo que, para variar, estaba encaminado. Saludos!