[yotas]

¡Buenas, buenas!

Necesito un consejo para el siguiente ejercicio:

Sea \( G \) un grupo finito abeliano. Demuestre que existe una secuencia de subgrupos:

\( G\supset H_1 \supset H_2 \ldots \supset H_r=\{e\} \)

tal que \( H_i/H_{i+1} \) es cíclico de orden primo para todo  \( i \)

¡Gracias por sus ayudas y comentarios! 

[Luis Fuentes]

Hola

 Hazlo por inducción en el número de primos en que se descompone el orden de \( G \).
 
 Si \( G \) tiene orden primo es inmediato.

 Para el paso inductivo, supón que el resultado es cierto para grupos cuyo orden se descompone en producto de \( n-1 \) primos y considera un grupo \( G \) cuyo orden se descompone en producto de \( n \) primos.

 Prueba en primer lugar que \( G \) tiene un subgrupo de orden primo \( H_n \). Luego aplica inducción para el grupo \( G/H_n \).

Saludos.

[yotas]

Yo no te entiendo. No sé cómo hacer el paso base:
¿No tendría que probar para un grupo \( G \) con orden \( p^\alpha \) con \( p \) primo? ¿cómo hago eso?

[serpa]

Hola. Como estas haciendo inducción sobre el numero de primos en que se descompone el orden del grupo (sin importar repeticiones) tendríamos que el caso base es cuando el orden de G es un numero primo p. Por lo tanto

Caso base: Nota que si \( |G|=p \), con p primo, entonces la secuencia \( \{e\}\subseteq{G} \) cumple la afirmación pues \( G/\{e\}\approx{G} \).

Hipótesis de inducción: La afirmación se cumple para todo grupo cuyo orden se descompone como producto de \( n-1 \) primos.

Debes demostrar que para los grupos cuyo orden se descompone como producto de n primos también se cumple la afirmacion. Para hacerlo utiliza la sugerencia de el_manco.

Saludos