Hola Dogui.
Un poco de contexto (seguramente son cosas que sabes).
La función logaritmo (en cualquier base) sólo está definida en los reales positivos, esto es:
\( \ln(a)\in\mathbb{R}\Leftrightarrow a>0 \).
En otras palabras, no tiene sentido evaluar la función logaritmo en números negativos.
Además, por definición: \( \textrm{Dom}(f)=\{x\in\mathbb{R}:\; f(x)\in\mathbb{R}\} \). Dicho de otro modo:
\( x\in \textrm{Dom}(f)\Leftrightarrow f(x)\in\mathbb{R} \).
Ahora analicemos tu ejercicio:
\( x\in \textrm{Dom}(f)\Leftrightarrow f(x)=\log\left(\dfrac{3-2x}{x-4}\right)\in\mathbb{R} \Leftrightarrow \dfrac{3-2x}{x-4}>0 \).
A su vez, la división de dos números es positiva si y sólo si estos números tienen igual signo. En este ejercicio:
\( \dfrac{3-2x}{x-4}>0 \) si y sólo si \( 3-2x \) y \( x-4 \) tienen igual signo, es decir,
caso 1: \( 3-2x>0 \) y \( x-4>0 \)
caso 2: \( 3-2x<0 \) y \( x-4<0 \)
Sobre LaTeX: \quad y \qquad hacen grandes separaciones y \; y \, hacen separaciones más pequeñas.
