[poolnikov]

Hola a todos.
Quería resolver la siguiente ecuación:
\( kx-e^x=0 \)
Concretamente para el caso \( k<0 \) en el cuál sé que tiene una única solución.
Sé que en \( k\in{[0,e]} \) no tiene ninguna solución.
Tambíen sé que para \( k>e \) tendrá dos soluciones.
(Todo esto lo he obtenido analizando las gráficas de \( f(x)=kx \) y de \( g(x)=e^x \))
Agradecería alguna pista para calcular la raíz para \( k<0 \), obviamente en función de \( k \). (A primera vista me pareció muy fácil, pero me puse a ello y no veo modo de despejar la x).
Gracias por vuestra ayuda.
Saludos.

[Abdulai]

... y no veo modo de despejar la x

Ni lo vas a ver, porque no se puede expresar x por medio de un número finito de funciones elementales.

Dos opciones:

- Calcular x por métodos numéricos.

- Hacer  \( x = -W(-\frac{1}{k}) \)  donde \( W() \) es la función W de Lambert y usar Mathematica que la tiene incluida como ProductLog[].

[poolnikov]

Hola y muchas gracias.
Entonces ni me molesto en calcular los dos valores que tomaría \( x \) para \( k>e \) ¿verdad?
Gracias de nuevo.
Saludos.

[Abdulai]

No entiendo tu duda.  Para k>e tampoco vas a poder despejar x.

Con Matlab por ejemplo, si quisieras los valores de x para k=3 , aplicando la fórmula que escribí antes seria:
---------------------------------------------
x1 = -lambertw(-1/3)

x1 =

    0.6191
---------------------------------------------

y para la otra solución se usa otra rama de la W

---------------------------------------------
x2 = -lambertw(-1,-1/3)

x2 =

    1.5121
---------------------------------------------