[julinana]

Hola a todos,

Estoy super atascada con el tema de las series, y necesitaría que me echarais una mano...
Dada la siguiente serie:

\( \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}=(n^5+2)\left(1-\cos\frac{1}{n^k}\right) \)

Me preguntan si es convergente para k=4 y k=3.

¿Como puedo proceder para averiguarlo? ¿Por donde debería empezar?

Muchas gracias,

Saludos!

[Carlos Ivorra]

Salvo que ese = que no pinta nada ahí en medio signifique que hay algo mal escrito, tal cual está, el término general no tiende a cero, luego la serie diverge. Por otra parte, la serie no está definida para \( n=0 \).

[sebasuy]

Lo que te dice Carlos es:

Es condición necesaria de convergencia que el término general de la serie tienda a 0.

Para estudiar el límite del término general recuerda que \( (1-\cos x) \sim \dfrac{x^2}{2} \) si  \( x\to 0 \).

Ahora estudia los casos que te piden.

Cuando las series son de términos de signo constante puedes utilizar el Criterio del Equivalente.

A mí sí me parece que hay convergencia.

Espero te sirva.

Saludos.

[julinana]

Sí, es cierto, se me había colado un igual, la seríe sería esta:

\( \sum_{n=0}^{\infty}(n^5+2)(1-cos\frac{1}{n^k}) \)

Sebasuy, no entiendo a que te refieres con lo del coseno.

[sebasuy]

Dos sucesiones \( \{x_n\} \) e \( \{y_n\} \) se dice que son equivalentes si el límite del cociente existe y vale 1.
Por simplicidad, anotamos \( x_n \sim y_n \).

A veces le llaman límites tipo a las siguientes equivalencias: \( \sen x_n\sim x_n \), \( 1-\cos x_n\sim \frac{x_n^2}{2} \) o \( \log(1+x_n)\sim x_n \), todas para toda \( x_n\to 0 \).

En nuestro caso, si \( k>0 \), \( 1-\cos(\frac{1}{n^k}) \sim \frac{1}{2n^{2k}} \) puesto que \( \frac{1}{n^{2k}}\to 0 \) cuando \( n\to\infty \).

Saludos.

[Carlos Ivorra]

A mí sí me parece que hay convergencia.

Perdón. Metí la pata. Antes de pensar nada dibujé la gráfica, pero me dejé el \( 1- \).

[julinana]

OK, muchísimas gracias