[bugmenot]

Hola de nuevo.

En realidad estoy realizando un ejercicio que tiene varias consignas, pero voy a ir por partes, la primer duda seria como calcular el dominio de una funcion compuesta.

Tengo las siguientes funciones:

\( \displaystyle f(x)=x^3-2 \)

\( \displaystyle g(x)=\sqrt{x} \)

La función compuesta seria:

\( \displaystyle f \circ g=\sqrt[ ]{x^3}-2 \)

La pregunta en concreto seria: el dominio lo tengo que calcular directamente a la funcion compuesta como si se tratase de cualquier función?

La segunda pregunta seria me piden que calcule \( \displaystyle (f \circ g)(1) \) y \( \displaystyle (f \circ g)(-1) \) si es posible. A que se refiere ese 1 entre parentesis?

y la ultima, me piden hallar k para que \( \displaystyle (f \circ g)(x)=(g \circ f)(x) \) donde \( \displaystyle f(x)=5x-k \) y \( \displaystyle g(x)=4x-1 \).

En este caso, lo que tengo que hacer es simplemente despejar k?

Muchas gracias.

PD: No se porque el mensaje salio dos veces.

[elcristo]

El dominio de la función compuesta es el dominio de los x que están en las 2 funciones a la vez. En f(x) no hay ningún problema, pero g(x) solo esta definida para \( x\geq{}0 \). El dominio de la composición es el dominio de las 2 a la vez.

La notacion \( \displaystyle (f \circ g)(1) \) hace referencia al valor que toma la función compuesta en el punto x=1. Es lo mismo que poner \( h(1) \), solo que en este caso la función es una composición, y se escribe \( \displaystyle (f \circ g) \)

No, tienes que hacer la composición en un sentido y en otro, es decir \( \displaystyle (f \circ g)(x) \) y \( (g \circ f)(x) \), e igualarlas para sacar k.

[Luis Fuentes]

Hola

 Esto es confuso:

El dominio de la función compuesta es el dominio de los x que están en las 2 funciones a la vez. En f(x) no hay ningún problema, pero g(x) solo esta definida para \( x\geq{}0 \). El dominio de la composición es el dominio de las 2 a la vez.

 ¿Qué significa el dominio de las dos a la vez? Pareciera que se refiere la la intersección de dominios. Pero no es así.

 Dadas:

\(  f:A\longrightarrow{}B,\qquad g:C\longrightarrow{}D \)

 La composición podra definirse en un subconjunto de \( C \). El conjunto más grande donde puede hacerse es:

\(  g^{-1}(A\cap D) \)

 En nuestro caso tenemos:

\(  f:R\longrightarrow{} R,\qquad f(x)=x^3-2 \)
\(  g:[0,+\infty) \longrightarrow{}R \)

 El dominio es:

\(  g^{-1}(R)=[0,+\infty) \)

Saludos.

[bugmenot]

En nuestro caso tenemos:

\(  f:R\longrightarrow{} R,\qquad f(x)=x^3-2 \)
\(  g:[0,+\infty) \longrightarrow{}R \)

 El dominio es:

\(  g^{-1}(R)=[0,+\infty) \)

Saludos.

Osea que el dominio de una funcion compuesta siempre es el dominio de la segunda funcion (en este caso g(x)), esto es asi?

[Carlos Ivorra]

No, no es así. Por ejemplo, si \( f(x)=x^2 \) y \( g(x)=\ln x \), el dominio de \( f\circ g \) es \( \left]0,+\infty\right[ \), que coincide con el dominio de \( g \).

En cambio, si \( f(x)=\ln x \) y \( g(x)=x^3 \), ahora el dominio de \( f\circ g \) es \( \left]0,+\infty\right[ \), que es el dominio de \( f \), no el de \( g \).

Pero si \( f(x)=\ln x \) y \( g(x)=x+10 \), entonces el dominio de \( f\circ g \) es \( \left]-10,+\infty\right[ \), que no es ni el dominio de \( f \) ni el de \( g \).