[H]

Hola tengo un problema, sé sacar la función generatriz a partir de la relación de recurrencia de Fibonacci, pero debo saber desarrollarla por fracciones simples, o sea sumando, agrupando términos y obtener la expresión de los \( F_n \)

\( \displaystyle\frac{x}{1-x-x^2} \)

Lo que hace en mis apuntes es

\( \displaystyle\frac{-x}{x^2+x-1} \)

entonces saca las raíces del denominador

\( x^2+x-1 \)

y le sale

\( x=\displaystyle\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2} \)

y a las soluciones las llama el número áureo positivo y negativo y luego dice que lo acabemos como ejercicio y eso es lo que no sé.

Si alguien lo puede desarrollar paso a paso explicándolo se lo agradecería mucho.

Saludos y gracias de antemano.

[sebasuy]

La verdad no entiendo mucho lo que intentas preguntar.

Las ecuaciones \( x^2+x-1=0 \) y \( 1-x-x^2=0 \)  son equivalentes y por lo tanto tienen las mismas soluciones, cuyas raíces podemos representar como \( \phi \) (la raíz positiva) y \( \overline{\phi} \) (la raíz negativa).

Como te decía al principio, no estoy seguro de qué pretendes luego.

Saludos.

[sebasuy]

Me quedé pensando que si lo que pretendías era la descomposición en fracciones simples de \( \dfrac{-x}{x^2+x-1} \), entonces es

\( \displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}\ \frac{\overline{\phi}}{x-\overline{\phi}} -\frac{1}{\sqrt{5}}\ \frac{\phi}{x-\phi}  \)

donde \( \phi \) y \( \overline{\phi} \) son los definidos en el mensaje anterior.

Espero te sirva.

Saludos.

[pierrot]

La verdad no entiendo mucho lo que intentas preguntar.

Como te decía al principio, no estoy seguro de qué pretendes luego.

Lo que pretende es llegar a una fórmula para \( F_n \) conocida su función generatriz \( f(x)=\dfrac{x}{1-x-x^2} \). Valiéndonos de lo que ha escrito sebasuy, podemos escribir

\( \displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{5}}\frac{\overline{\phi}}{x-\overline{\phi}} -\frac{1}{\sqrt{5}}\frac{\phi}{x-\phi} \)

o también

\( \displaystyle f(x)=-\frac{1}{\sqrt{5}}\frac{1}{1-\frac{x}{\overline{\phi}}}+\frac{1}{\sqrt{5}}\frac{1}{1-\frac{x}{\phi}} \)

Ahora ten en cuenta que

\( \displaystyle \frac{1}{1-\frac{x}{\overline{\phi}}}= \sum_{n=0}^\infty \Big(\frac{x}{\overline{\phi}}\Big)^n \)

y que

\( \displaystyle \frac{1}{1-\frac{x}{\phi}}= \sum_{n=0}^\infty \Big(\frac{x}{\phi}\Big)^n \)

Spoiler

Sustituyendo, llegarás a que

\( \displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{5}}\sum_{n=0}^\infty \Big(\phi^{-n}-(\overline{\phi})^{-n}\Big)x^n \)

luego

\( \displaystyle F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\Big(\phi^{-n}-(\overline{\phi})^{-n}\Big) \)

[cerrar]

Saludos.

[pierrot]

Me tengo que ir a dormir, pero hay un error en este desarrollo. Algo no está bien... No sé si es que la \( f(x) \) está mal, o bien la fórmula de sebasuy tiene algún error, o bien yo me equivoqué en mi planteo. Revisa.

[Luis Fuentes]

Hola

Me tengo que ir a dormir, pero hay un error en este desarrollo. Algo no está bien... No sé si es que la \( f(x) \) está mal, o bien la fórmula de sebasuy tiene algún error, o bien yo me equivoqué en mi planteo. Revisa.

No veo ningún error pabloN, está bien lo que haces y es lo que "debe de salir".

Observa que:

\( \phi^{-1}=-\bar \phi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \)

\( \bar \phi^{-1}=-\phi=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2} \)

Saludos.

P.D. H, te puede ser útil este documento:

http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/gallardo/cap12-fgs-MD-2011-2012.pdf

[pierrot]

Observa que:

\( \phi^{-1}=-\bar \phi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \)

\( \bar \phi^{-1}=-\phi=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2} \)

¡Ah, qué bien!