Fíjate que en tu argumento no usas la hipótesis de que \( f \) es compatible con \( R \). Si tu razonamiento fuera correcto, sería aplicable incluso si fallara esa hipótesis. Veamos un ejemplo:
Considera en \( \mathbb Z \) la relación de equivalencia dada por \( x\,R\,y\leftrightarrow |x|=|y| \). Considera \( f:\mathbb Z\longrightarrow \mathbb Z \) dada por \( f(x)=x+1 \).
Si tu razonamiento fuera correcto, podríamos decir que para cualquier \( [x] \) existe \( [f(x)] \), porque \( f(x)\in \mathbb Z \) tiene que pertenecer a alguna parte, y \( [f(x)] \) es "inmediato" que es única, porque \( f \) es una función y \( f(x) \) no puede pertenecer a dos partes.
Así que todo en orden, pero...
¿Cuánto vale \( g([5]) \)? Podríamos decir que \( g([5])=[f(5)]=[6] \), pero por otra parte \( [5]=[-5] \), luego tendría que ser \( g([5])=g([-5]) = [f(-5)] = [-4] \). Sin embargo, \( [5]\neq [-4] \). Algo falla. Medita sobre ello a ver si entiendes cuál es el problema.
