[juantv]

Buenas,

Tengo dudas acerca de cómo proceder en esto :

Halle  \( \displaystyle \lim_{x\to \infty} \, \, \frac{e^x}{x} \)

Mi intento :

como \( \displaystyle \lim_{u\to \infty} \, \, \frac{ln(u)}{u} = 0 \) (tengo una prueba de esto "aparte")

entonces \( \displaystyle \lim_{x\to \infty} \, \, \frac{x}{e^x} = 0 \) (basta hacer \( ln(u) = x \))

luego \( \displaystyle \lim_{x\to \infty} \, \, \frac{1}{\frac{x}{e^x}} = \infty \)

o sea \( \displaystyle \lim_{x\to \infty} \, \, \frac{e^x}{x} = \infty \)


¿es correcto lo que he dicho?

Aun si es correcto, no sé cómo justificar ("formalmente") que si

\( \displaystyle \lim_{x\to \infty} \, \, \frac{x}{e^x} = 0 \implies{\lim_{x\to \infty} \, \, \frac{1}{\frac{x}{e^x}} = \infty} \)


Perdón si la duda es trivial




Agradezco su orientación al respecto.

[Luis Fuentes]

Hola

 Vaya por delante que no me queda claro en que resultados previos puedes basarte para probar lo que te piden.

 Sea como sea en cuanto a tu duda concreta, preguntas como justificar que:

\(  \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}f(x)=0\quad \Rightarrow{}\quad \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}\dfrac{1}{|f(x)|}=+\infty \)

 Esta es una propiedad que suele probarse "muy pronto" en teoría de límites y luego se usa sin más. Hay que aclarar también que para que tenga sentido \( f(x) \) tiene que ser no nulo a partir de un cierto \( x_0 \) (en otro caso no podríamos hallar su inverso).

 Hay que poner el valor absoluto porque en otro caso el límite podría oscilar entre más y menos infinito.

 Fíjate que para funciones positivas tal valor absoluto puede eliminarse.
 Bien. Vamos con la prueba \(  \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}f(x)=0 \) significa que:

(1) para todo \( \epsilon>0 \) existe un \( M>0 \) tal que si \( x>M \) entonces \( |f(x)|<\epsilon \)

 Lo que queremos probar es que \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}\dfrac{1}{|f(x)|}=+\infty \), que equivale a:

 (2) para todo \( N>0 \) existe un \( M>0 \) tal que si \( x>M \) entonces \( \dfrac{1}{|f(x)|}>N \)

 Entonces para probar (2), dado \( N>0 \) aplica (1) tomando \( \epsilon=1/N \).

Saludos.

[juantv]

creo que lo asimile un poco mejor

pero entonces, ¿crees que tenga algún error?

por ejemplo no he visto la regla de l'Hôpital , así que creo que no la debía usar



Gracias

[Luis Fuentes]

Hola

creo que lo asimile un poco mejor

pero entonces, ¿crees que tenga algún error?

No; tu razonamiento es correcto. Pero simplemente hay que tener claro si todos aquellos resultados en que te basas los puedes utilizar.

por ejemplo no he visto la regla de l'Hôpital , así que creo que no la debía usar

No se dónde se supone que has usado la regla de L'Hopital. Si es para resolver este límite:

\( \displaystyle \lim_{u\to \infty} \, \, \frac{ln(u)}{u} = 0 \)

ciertamente si no la has dado no deberías de usarla. Pero por otra parte si pudieses usar L'Hopital lo lógico sería haberla aplicado desde el principio al límite de partida.

Si quieres probar directamente que:

\( \displaystyle \lim_{x\to \infty} \, \, \frac{e^x}{x}=+\infty \)

Puedes simplemente tener en cuenta que por definición:

\( e^x=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{}\dfrac{x^n}{n!} \)

y por tanto:

\( \dfrac{e^x}{x}\geq \dfrac{\dfrac{x^2}{2}}{x}=\dfrac{x}{2} \)

Ahora es inmediato concluir.

Saludos.

[juantv]

Si, me refería a que no "debía" (no la use) usar  L'Hopital para calcular el limite inicial (pues no la he visto).


" Hola


y por tanto:

\( \dfrac{e^x}{x}\geq \dfrac{\dfrac{x^2}{2}}{x}=\dfrac{x}{2} \)

Ahora es inmediato concluir.


Saludos.    "



es inmediato concluir porque :

cuando  \( x \rightarrow{\infty} \) entonces \( \dfrac{x}{2} \rightarrow{\infty} \) y como \( \dfrac{e^x}{x}\geq \dfrac{x}{2} \) tendré \( \dfrac{e^x}{x} \rightarrow{\infty} \) cunado \( x \rightarrow{\infty} \)

¿es por eso?

Gracias

[Luis Fuentes]

Hola

es inmediato concluir porque :

cuando  \( x \rightarrow{\infty} \) \( \dfrac{x}{2} \rightarrow{\infty} \) y como \( \dfrac{e^x}{x}\geq \dfrac{x}{2} \) tendré \( \dfrac{e^x}{x} \rightarrow{\infty} \) cunado \( x \rightarrow{\infty} \)

Correcto.

Saludos.