[Petra12]

Hola,

Tengo que entregar varios ejercicios la semana que viene y no sé por donde empezar con éste. El apartado (c) parece más práctico pero tampoco sé hacerlo... ¿podríais ayudarme un poquito?

Muchas gracias.


(a) Demuestra que \( P\in \mathbb{F}^{n\times n} \) es una proyección si y sólo si es diagonalizable y su conjunto de valores propios está incluido en \( \{0,1\} \). Concluye de aquí que \( \text{rang}(P)=\text{tr}(P) \).

(b) Prueba que si \( A\in\mathbb{F}^{m \times n} \) y \( \text{rang}(A)=n\leq m \) entonces la proyección ortogonal sobre \( \text{Im}(A) \) es \( A(A^*A)^{-1}A^* \) y también \( AA^+ \), siendo \( A^+ \) la inversa Moore-Penrose de A.

(c) Si \( A=\begin{bmatrix}{1}&{2}\\{0}&{1}\\{1}&{0}\end{bmatrix} \)

 ¿Cuál es la proyección ortogonal sobre \( \text{Im}(A) \)? ¿Qué matriz es \( A^+ \)? ¿Cuál es el vector proyección de \( x=[1 2 3]^T \) por la proyección ortogonal sobre \( \text{Im}(A) \)?

[Fernando Revilla]

Para el primer apartado, puedes guiarte aquí:

http://www.fernandorevilla.es/ii/vi/59-endomorfismo-idempotente

El problema está resuelto de forma general para \( f \) endomorfismo cumpliendo \( f^2=f, \) es decir para \( f \) proyección. Puedes sustituir sin problemas \( f \) por \( P, \) ya que \( P \) representa un endomorfismo en \( \mathbb{F}^n \) respecto de la base canónica, y la composición de endomorfismos corresponde al producto de matrices.

[pierrot]

Corrijo la URL de Fernando:

http://www.fernandorevilla.es/docencia-problemas/vi/59-endomorfismo-idempotente

[Fernando Revilla]

Corrijo la URL de Fernando:

http://www.fernandorevilla.es/docencia-problemas/vi/59-endomorfismo-idempotente

Gracias amigo. Tengo mucho que aprender sobre los enlaces permanentes. 

[pierrot]

Gracias amigo. Tengo mucho que aprender sobre los enlaces permanentes. 

Je, je. De nada.

Para el apartado (b) conviene que, suponiendo que las primeras \( n \) filas de \( A \) son linealmente independientes (lo cual no es ninguna restricción), expreses \( A \) en la forma

\( A=\begin{pmatrix}A_1\\A_2\end{pmatrix} \)

con \( A_1\in \mathbb{F}^{n\times n} \) y \( A_2\in \mathbb{F}^{(m-n)\times n} \). Además si

\(
\begin{gather*}
(a_{n+1,1},\dots, a_{n+1,n})=x_{1,1}(a_{1,1},\dots, a_{1,n})+\cdots+x_{1,n}(a_{n,1},\dots, a_{n,n})\\
\vdots \\
(a_{m,1},\dots, a_{m,n})=x_{m-n,1}(a_{1,1},\dots, a_{1,n})+\cdots+x_{m-n,n}(a_{n,1},\dots, a_{n,n})
\end{gather*}
 \)

se tiene

\( A_2=XA_1 \)

con

\( X=\begin{pmatrix}{x_{1,1}}&{\cdots}&{x_{1,n}}\\{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\{x_{m-n,1}}&{\cdots}&{x_{m-n,n}}\end{pmatrix} \)

Añado: ¿Para el apartado (c) cuáles son tus dudas? Simplemente hay que aplicar el resultado del apartado (b).

[pierrot]

Para (b), la idea intuitiva que uno debiera tener es que si \( V \) es un espacio vectorial normado y \( S \) es un subespacio de dimensión finita, entonces dado \( v\in V \):

\( \|v-P_s(v)\|=\min_{s\in S} \|v-s\| \)

Si \( S=\text{Im}(A) \), dado \( y\in \mathbb{K}^{m\times 1} \) el vector \( s\in S \) que minimiza \( \|y-s\| \) es justamente \( s=P_S(y) \). Como \( s\in S=[A^1,\dots,A^n] \) (denoto por \( A^i \) la columna i-ésima de \( A \)), pongamos \( s=Ax,\;x\in \mathbb{F}^{n\times 1} \).

El vector \( y-Ax \) es lo más "corto" posible cuando \( y-Ax \) es perpendicular al subespacio \( S \), o sea, cuando \( y-Ax\perp A^i,\;\forall i=1,\dots,n \). Esto puede escribirse como \( (A^i)^T(y-Ax)=0 \) que matricialmente equivadría a \( A^T(y-Ax)=0 \) (no son otra cosa que las ecuaciones normales). A partir de ahí, \( A^Ty=A^TAx \) de donde se obtiene \( x=(A^TA)^{-1}A^Ty \) pero como \( s=Ax \) entonces \( s=A(A^TA)^{-1}A^Ty \). Esto te permitiría concluir que \( P_S(y)=A(A^TA)^{-1}A^Ty \) por lo que su matriz asociada en la base canónica sería precisamente \( A(A^TA)^{-1}A^T \) que es la que se indica en el ejercicio.

En fin, habría que formalizar este argumento (y capaz que para ello te sirve mi sugerencia de dividir la matriz en dos bloques), pero creo que la idea sería más o menos así...