[Miel]

Hola Amigos.

Necesito calcular el orden del siguiente grupo



donde \( k \) es un cuerpo finito de orden \( q=p^n \) con \( p \) primo.

Cualquier ayuda es bien recibida.

¡Saludos!

P.D.: No se porque las fórmulas en latex salen con error, siendo que en un compilador latex funcionan.

[elcristo]

Creo que hay un problema con el motor de Latex.

Yo te ayudaría, pero no entiendo nada de lo que aparece, a ver si cuando arreglen Latex se lo que aconsejarte.
Lo que puedo decirte es que para calcular ordenes Lagrange viene genial. Veo por ahí un numero primo, por lo tanto algún orden de alguna cosa (no se lo que aparece en la primera expresión) tiene orden 1 o p (si es divisor de p y p es primo, ese debe ser su orden)

Espero haberte ayudado dentro de lo que cabe.

[Luis Fuentes]

Hola

 Tienes que contar cuantas matrices dos por dos sobre un cuerpo de q elementos tienen determinante no nulo. O equivalentemente rango dos.

 Fíjate que la primera fila puede ser cualquiera menos la fila nula: (\( q^2-1 \)) posibilidades.

 La segunda fila cualquier menos un múltiplo de la primera: (\( q^2-q \))

 ¿Conclusión?.

Saludos.

[Miel]

Gracias por la respuesta.

Me ha quedado claro y lo pude resolver.

No se si debo hacerlo en otro hilo, porque tengo otra pregunta.

Para el cálculo de las determinante 1 con las mismas condiciones, o sea,



agradecería alguna ayuda.

Saludos!

[Luis Fuentes]

Hola

 Considera el morfismo que lleva una matriz inversible en su determinante; observa que es un homomorfismo del grupo de matrices inversibles en el grupo multiplicativo de k.

 El núcelo es precisamente las matrices de determinante 1. Ahora nota que el cociente de Gl(k) por ese núcleo es el cociente de los cardinales; utiliza los teoremas de isomorfía y concluye.

 Equivalentemente basta notar que el número de matrices de determinante m fijo y no nulo no depende de m. Por tanto el número  de matrices con determinante fijo es el cociente del número total de matrices inversibles por el número de posibles valores del determinante.

Saludos.

[Miel]

Hola el_manco.

Muchas gracias por la respuesta.

Creo que lo resolví.
Necesito conocer |SL(2,K)|, sabiendo que: \( |GL(2,K)|=(q^2-1)(q^2-q) \) y \( |k^{x}|=q-1 \)

Por el isomorfismo  (determinante) entre \( GL(2,K) \) y \( K^{x} \), cuyo kernel será \( SL(2,K).  \)
Según el primer teorema del isomorfismo: \( GL(2,K)/SL(2,K) \) es isomorfo a \( K^{x}. \)
Aplicando el teorema de Lagrange, se tendrá \( |GL(2,K)| =[GL(2,K):SL(2,K)] |SL(2,K)| \).
Al reemplazar se puede concluir el valor de \( |SL(2,K)| \), ya que \( [GL(2,K):SL(2,K)]=|k^{x}|=q-1 \).

¡Saludos!

[Luis Fuentes]

Hola

 Si, está bien.

 Al grupo multiplicativo llámale \( k^* \) y no \( k^x \).

Saludos.

[Miel]

Gracias nuevamente por la respuesta y por la aclaración.

¡Saludos!