Hola, Anceloth.
1) Una vez fijado el valor de \( U \), la trayectoria que sigue \( X(t) \) es una exponencial respecto de \( t \). De este modo, el conjunto de trayectorias posibles es un "ramillete" de exponenciales delimitadas por las funciones \( 1 \) y \( e^{-t} \), pues por más que el valor de \( U \) sea aleatorio, con certeza ocurre entre 0 y 1.
2) Por definición,
\( E[X]=\displaystyle\int_\mathbb{R}x f_X(x)dx \)
para una variable aleatoria continua \( X \). Si se tiene \( Y=\phi(X) \), la esperanza de \( Y \) viene dada por
\( E[Y]=\displaystyle\int_\mathbb{R} \phi(x)f_X(x)dx \).
En nuestro caso \( \phi(x)=e^{-tx} \) y obtendríamos que
\( E[X(t)]=\displaystyle\int_\mathbb{R} e^{-tx}f_U(x)dx=\displaystyle\int_{0}^{1}e^{-tx} dx=\displaystyle\frac{1-e^{-t}}{t} \)
3) \( F_X(x)=P(X_t\leq{x})=P(e^{-Ut}\leq{x})=P(-Ut\leq{\ln(x)}) \)
\( =P\bigg(U\geq{\displaystyle\frac{-\ln(x)}{t}\bigg)}=1-P\bigg(U\leq{\displaystyle\frac{-\ln(x)}{t}\bigg)} \)
\( =1-F_U\bigg(-\frac{\ln(x)}{t}\bigg)}=\left\{\begin{matrix}{1}&\mbox{ si }& \displaystyle\frac{-\ln(x)}{t}\leq{0}\\-\frac{\ln(x)}{t} & \mbox{si }& 0\leq{-\frac{\ln(x)}{t}}\leq{1}\\0 & \mbox{si}& -\frac{\ln(x)}{t}\geq{1}\end \)
Por lo tanto, la distribución buscada queda definida así:
\( F_{X(t)}(x)=\left\{\begin{matrix}{1}&\mbox{ si }& x\geq{1}\\-\frac{\ln(x)}{t} & \mbox{si }& e^{-t}\leq x \leq{1}\\0 & \mbox{si}& x\leq{e^{-t}}\end \)
Saludos!
