[alquimista]

Estimados Gurus de la Probabilidad y Estadísticas.

Me desempeño como sociólogo y estoy haciendo un estudio con fórmulas estadísticas, pero mi formación matemática es muy limitada, por esta razón les pido disculpas si mi traducción de los datos a términos matemáticos no es la correcta.

En mi caso de estudio cuento con una población de 100 números discretos, que van del 0 al 99, y tengo un histórico de frecuencias de ocurrencias de dichos números, por ejemplo, el número 5 tiene 10 ocurrencias, el número 88 tiene 5 ocurrencias, el número 56 tiene 14 ocurrencias, el número 76 tiene 18 ocurrencias y así sucesivamente. Mi pregunta es la siguiente, tomando como base el histórico de frecuencias de ocurrencias de números, se puede obtener una función matemática que pueda indicar ¿cuál número es el siguiente en aumentar su número de ocurrencias?, tomando el ejemplo anterior, la función me indicaría que el número que va a aumentar su frecuencia es el 5 y ahora en lugar de tener 10 ocurrencias tiene 11, y la siguiente vez, la función me indicaría que el 88 va a aumentar sus ocurrencias pasando de 5 a 6.

       El mecanismo mediante el cual se obtienen las ocurrencias, se supone es "aleatorio", pero me pregunto que si conociendo el comportamiento histórico de una población tan pequeña como es el caso de 100 números discretos y un muestreo histórico grande de 1000 veces, exista alguna forma de extrapolar o dar probabilidades muy precisas a cada número de resultar en una nueva ocurrencia. Busco algo similar a una función lineal, donde se pueden pasar valores a los parámetros y ésta función me indique cual número va a aumentar sus ocurrencias.


Muchas Gracias.

[Ked]

No sé si entendí bien eso de la "función que te dice qué número va a aumentar sus ocurrencias", pero, si asumes que los datos son aleatorios, no debería haber ningún tipo de tendencias.

Para comprobar si pueden suponerse aleatorios los datos puedes realizar tests de aleatoriedad. Los que conozco son el test de Rachas (runs up & down test) y el test de rangos de Spearman (detecta tendencias crecientes o decrecientes en los datos). Ambos tests son realmente muy sencillos de hacer en, por ejemplo, una planilla Excel.

Saludos

[alquimista]

Gracias Ked,

   Podrías por favor facilitarme un link o enviarme un ejemplo de como hacer este tipo de pruebas en Excel 2003, ya que estuve buscando ayuda en MSN y en Excel, y no encontre como hacer una Test de Rachas ni un test de rangos de Spearman. Y como interpretar los resultados que me arroje este tipo de pruebas.

[Ked]

La verdad no he encontrado ningún material decente en la web, así que lo explicaré lo mejor que pueda. Asumo que tienes nociones básicas de excel como para poder implementarlo (es bastante sencillo).

Sea \( X_i \) el dato i-ésimo

Test de rachas

Definimos \( U_i \) como 1 si \( X_i \leq X_{i+1} \) y 0 en caso contrario. Armamos una tabla de esta pinta:

\(

\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
$X_i$ &  $U_i$ \\
\hline
1 & 1\\
3 & 0\\
2 & 1\\
7 & -\\
\hline
\end{tabular}
 \)

Luego contamos cada una de las rachas. En el ejemplo anterior hay 3 rachas (es la cantidad de "cambios" de 1 a 0, +1). Para datos aleatorios el valor esperado de la cantidad de rachas es \( \displaystyle R = \frac{2n-1}{3} \).

Si trabajas con un nivel de error de \( \alpha = 10\% = 0.10 \), rechazarás que los datos sean aleatorios si \( \alpha > \alpha^* \) donde \( \alpha^* \) es el p-valor del test.

Para más de 25 datos se puede usar la siguiente aproximación normal (R es la cantidad de rachas que contamos en tu muestra y n es la cantidad de datos):

- Si \( \displaystyle R < \frac{2n-1}{3} \) el p-valor de la prueba es \( \alpha^* = P(Z \leq z_L) \) con \( Z \sim N(0,1) \) (Z distribución Normal 0,1) donde \( \displaystyle z_L = \frac{R + 0.5 - \frac{2n-1}{3}}{\sqrt{\frac{16n-29}{90}}} \)

- Si \( \displaystyle R > \frac{2n-1}{3} \) el p-valor de la prueba es \( \alpha^* = P(Z \geq z_R) \) con \( Z \sim N(0,1) \) donde \( \displaystyle z_R = \frac{R - 0.5 - \frac{2n-1}{3}}{\sqrt{\frac{16n-29}{90}}} \)

En resumen, calculas \( z_R \) o \( z_L \) según corresponda, y luego para ver la probabilidad en una normal 0,1 dispones de la función DISTR.NORM.ESTAND

Test de Spearman

Definimos \( R_i \) como el rango de \( X_i \) (el rango es la posición cuando la muestra está ordenada). Armamos una talba de la siguiente pinta:

\(

\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
$i$ & $X_i$ &  $R_i$ & $(i - R_i)^2$\\
\hline
1 & 3.5 & 3 & 4\\
2 & 2.6 & 1 & 1\\
3 & 3.4 & 2 & 1\\
4 & 5.1 & 4 & 0\\
\hline
\end{tabular}
 \)

El estadístico del test para n datos es \( \displaystyle r_s = 1 - 6\frac{\sum_{i=1}^n (i-R_i)^2}{n(n^2-1)} \) (calcular la sumatoria es sumar la última columna de la tabla). \( r_s \) siempre deberá darte un valor entre -1 y 1, cerca de 1 significará tendencia creciente, cerca de -1, tendencia decreciente. Si es cercano a 0 los datos pasan este test de aleatoriedad.

Al igual que en rachas, si trabajas con un nivel de error de \( \alpha = 10\% = 0.10 \), rechazarás que los datos sean aleatorios si \( \alpha > \alpha^* \) donde \( \alpha^* \) es el p-valor del test.

Para más de 30 datos se puede usar la siguiente aproximación normal:

- Si \( r_s < 0 \) el p-valor de la prueba es \( \alpha^* = P(Z \leq z_L) \) con \( Z \sim N(0,1) \) donde \( \displaystyle z_L = r_s\sqrt{n-1} \)

- Si \( r_s > 0 \) el p-valor de la prueba es \( \alpha^* = P(Z \geq z_R) \) con \( Z \sim N(0,1) \) donde \( \displaystyle z_R = r_s\sqrt{n-1} \)



Saludos