- entonces si por ejemplo me dan una función y su dominio es el intervalo cerrado \( [0,\infty[ \) ¿puedo concluir que la derivada en cero no existe porque la función no esta definida a la izquierda de cero ? , es decir , no existe la derivada en un extremo del intervalo (en este caso el 0)
En realidad nos estamos moviendo en el terreno de las definiciones, con lo que tu pregunta tiene respuestas distintas según las definiciones que adoptemos. En principio, la definición de derivada en un punto exige que el punto sea interior al dominio de la función, y en este sentido lo que dices es correcto: una función definida en \( [0,\infty[ \) no es derivable en \( 0 \) por definición de derivada.
Otra cosa es que en el caso de funciones de una variable se pueda definir el concepto de derivada por la izquierda o derivada por la derecha en un extremo de un intervalo.
Pero, por otra parte, no es raro que se defina que una función es derivable en un intervalo cerrado \( [a,b] \) si puede extenderse a una función derivable en un intervalo abierto mayor. En ese sentido, la función compuesta de tu intervalo sí que sería derivable en \( 0 \). Pero, por lo que dices, parece ser que en el contexto en el que estás trabajando no habéis adoptado este convenio, con lo que la respuesta que se espera que des es que la función compuesta no es derivable en 0, por definición.
- otra cosa, ¿como se yo si la pregunta la debía entender como el calculo de la derivada de una función compuesta? , pues si lo miro por otra forma, al reemplazar el valor de \( u \) en \( v \) obtengo una función simple cuya derivada en cero es cero y no concuerda con los errores que parecen estar presentes sobre existencia de la derivada.
Creo que voy a retractarme de mis palabras. Te dije que era una pregunta capciosa sin ningún contenido profundo, pero ahora me parece que sí que hay algo importante que puedes aprender de ella: a no dejarte engañar por las expresiones algebraicas.
Antes de discutir este caso, te voy a poner un ejemplo mucho más claro. Imagina que te doy la función \( f(x)=\ln x \) y te pregunto si existe \( f'(-1) \). ¿Me dirías acaso que sí que existe la derivada en \( -1 \)? Según tu forma de ver las cosas, la respuesta es afirmativa, porque podemos calcular \( f'(x)=1/x \), y al sustituir queda \( f'(-1)=-1 \).
Pero eso no tiene sentido, porque la función \( f \) no está definida en \( -1 \), luego mucho menos puede ser derivable en \( -1 \). Moraleja: que puedas calcular algo (entendiendo "calcular" con cierto desparpajo), no significa que exista.
Más concretamente, la derivada de \( f(x) \) no es \( 1/x \) (entendida como una función definida en \( \mathbb R\setminus \{0\} \)), sino que la función \( f \) es derivable en todo su dominio, \( \left]0,+\infty\right[ \) y su derivada es la función \( 1/x \) definida sobre este mismo intervalo, y el hecho de que puedas calcular esa misma expresión algebraica en otros puntos de fuera de ese intervalo no te da derecho a decir que estás calculando la derivada de \( f \) en dichos puntos, porque tal derivada no existe.
El caso de tu problema es similar. Preguntas que cómo sabes que te preguntan por la derivada de la función compuesta. Bueno, imagina que no te hubieran dado funciones concretas, que sólo te hubieran dicho, dadas dos funciones \( u(x) \) definida en un intervalo \( I \) tal que \( 0\in I \) y \( v(u) \) definida en \( \mathbb R \), ¿qué debemos entender por \( \left.\dfrac{dv}{dx}\right|_0 \)?
¿Se te ocurriría alguna respuesta posible distinta de que nos están hablando de la derivada de la función compuesta \( v(x)=v(u(x)) \)? Sin duda, no. Luego el enunciado no es equívoco.
El equívoco aparece cuando calculas \( v(x) \) y sucede que, al igual que la expresión que te permite calcular la derivada de \( \ln x \) tiene sentido fuera del dominio de la derivada, también la expresión que te permite calcular la función compuesta \( v(x) \) tiene sentido fuera del dominio de la función compuesta, pero del mismo modo que no puedes decir que \( 1/x \) tiene nada que ver con \( \ln x \) fuera del dominio de ésta, tampoco puedes decir que \( x^2+1 \) tiene nada que ver con \( v(x) \) fuera del dominio de ésta, que es \( \left[0,+\infty\right[ \).
Como mucho, lo que tiene que ver es que es una extensión posible de la función compuesta, pero hay infinitas extensiones posibles, algunas derivables y otras no derivables, y el hecho de que sea la extensión "que sale sola, quieras que no" cuando haces cuentas, no la convierte en especial desde un punto de vista matemático. Lo cierto es que, si se adopta el convenio de que una función en un intervalo cerrado es derivable en un extremo cuando se puede extender a una función derivable en un abierto mayor, entonces dicha extensión justificaría que \( v'(0)=0 \), pero sin ese convenio, ciñéndonos a la definición de derivada, la función compuesta \( v(x) \) no está definida a la izquierda de 0, como la derivada de \( \ln x \) no está definida a la izquierda de 0, y tenemos que concluir que \( v(x) \) (no su extensión natural) no es derivable en 0.
