[Elodin]

Hola, me gustaría saber cuáles son las matrices diagonales que conmutan con todas las demás.

Sé que por ejemplo la matriz identidad conmuta con todas las demás. Por ejemplo A*I es igual que I*A. Quería saber si existen otras matrices diagonales que conmuten con todas las matrices que existen.

[Luis Fuentes]

Hola

 Piensa como se modifica una matriz formada totalmente por unos, al ser multiplicada a izquierda y a derecha por una misma matriz diagonal y saca tus conclusiones.

Saludos.

[Elodin]

Si tenemos una matriz A y la multiplicamos a la derecha por la matriz diagonal D, lo que pasa es que los elemenos de la diagonal, multiplican respectivamente las columnas de la matriz A. Sin embargo, si hacemos la multiplicación D*A, los elementos de la diagonal, multiplican las respectivas filas de A... Por tanto la única matriz diagonal que conmutará con todas las demás será la identidad, ya que la identidad multiplicada a la derecha, lo que hará será multiplicar por uno las respectivas columnas de la matriz a la que multiplica, y cuando I se multiplique por la izquierda, lo que hará será multiplicar por uno las respectivas filas de la matriz que multiplica. Y como tanto en uno como en el otro caso, la matriz se queda igual, por lo que I sí conmuta, y es la única que va a conmutar con el resto de matrices.

Estoy en lo cierto o he sacado mal la conclusión?

[Luis Fuentes]

Hola

 ¿Y qué pasa si es una matriz múltiplo de la identidad?.

Saludos.

[Elodin]

Sí, también se me había pasado por mente eso. Pero pensé que tal vez era absurdo >.<
Pero acabo de verlo y sí...

Entonces, todos los múltiplos de la matriz identidad conmutaría con cualquier matriz? 

[Luis Fuentes]

Hola

Sí, también se me había pasado por mente eso. Pero pensé que tal vez era absurdo >.<
Pero acabo de verlo y sí...

Entonces, todos los múltiplos de la matriz identidad conmutaría con cualquier matriz? 

Que un múltiplo de la identidad conmuta con cualquier matriz es obvio ya que:

\( (\lambda Id)\cdot A=\lambda (Id\cdot A)=\lambda (A\cdot Id)=A\cdot (\lambda Id) \)

Que esas son las únicas diagonales que conmutan con cualquier otra se razona basándose en la idea que te di antes. Si una matriz tiene dos términos de la diagonal \( d_{ii}\neq d_{jj} \) diferentes, al multiplicar por las izquierda por la matriz formada por unos el término en la fila \( i \) y columna \(  j \) queda multiplicado por \( d_{ii} \); pero si multiplicas por la derecha ese mismo término queda multiplicado por \( d_{jj} \). Diferente resultado por tanto.

Saludos.