[kanneman]

Hola, hace varios dias que estoy intentando resolver estos ejercicios y estoy un poco trabado, si me pudieran guiar seria de mucha ayuda.

1.Hallar la matriz de \( 3x3 \) para la cual el polinomio minimal es \( x^2 \)

2. Sea \( n \) un entero positivo y sea \( V \) el espacio vectorial de los polinomios sobre \( R \) que tienen a los mas grado \( n \) (sin considerar el polinomio 0). Sea \( D \) el operador derivación sobre \( V \) ¿cual es el polinomio minimal de \( D \)?

3.Sea \( P \) el operador en \( R^2 \) que proyecta cada vector sobre el eje \( x \) paralelamente al eje \( v \): \( P(x,y)=(x,0) \). Mostrar que \( P \) es lineal. ¿cual es el polinomio minimal de \( P \)?

Muchas gracias desde ya!! saludos!!!

[Luis Fuentes]

Hola

 Sería bueno que indicases que has intentado y que dificultades específicas encuentras. Algunas indicaciones:

 1) Si el polinomio minimal es \( x^2 \) sus autovalores han de ser cero. Busca una matriz triangular con ceros en la diagonal no nula pero de cuadrado nulo.

 2) Nota que la derivada \( (n+1) \)-sima de un polinomio de grado \( n \) siempre es nula.

 3) Este es MUY inmediato. ¿Cuál es la dificultad que encuentras?.

Saludos.

[kanneman]

Hola muchas gracias pude resolver el ejercicio 1 con tu ayuda.
con respecto al ejercicio 2, si se anula recién en \( (n+1) \) a causa de que \( D \) es el operador derivación, entonces el polinomio minimal seria el polinomio de grado \( (n+1) \)??

[Luis Fuentes]

Hola

Hola muchas gracias pude resolver el ejercicio 1 con tu ayuda.
con respecto al ejercicio 2, si se anula recién en \( (n+1) \) a causa de que \( D \) es el operador derivación, entonces el polinomio minimal seria el polinomio de grado \( (n+1) \)??

¿Pero qué quiere decir el polinomio de grado \( (n+1) \)? Hay "muchos" polinomios de grado \( n+1 \), ¿cuál es?.

Saludos.

[kanneman]

Es que no entendí lo que me quisiste decir antes por eso te pregunte.

[Luis Fuentes]

Hola

Es que no entendí lo que me quisiste decir antes por eso te pregunte.

¿Pero entiendes qué es el polinomio mínimo de un operador? Es el polinomio mónico de menor grado que lo anula; aquí hay que entender que la potencia \( n \)-sima de un operador, es el operador compuesto \( n \) veces consigo mismo.

Por ejemplo si decimos que \( x^2+x+1 \) es el polinomio mínimo del operador \( D \) significa que \( D\circ D+D+id \) es el operador nulo.

En nuestro caso lo que te comentaba es que si derivamos \( n+1 \) veces obtenemos siempre el polinomio nulo; dicho de otra forma si componemos el operador derivación \( n+1 \) veces consigo mismo obtenemos el operador nulo.

Además si solo lo operamos \( n \) veces hay polinomios de grado \( n \) cuya derivada no es nula.

 ¿Conclusión?.

Saludos.