[julyx]

Hola!
Estoy intentando hacer unos ejercicios de grupos simétricos; tengo algunas ideas pero no sé si son correctas. Os las expongo por si podéis ayudarme:
1.   Se trata de calcular cuántos elementos de orden 10 tiene el grupo simétrico \( S_9 \). Sé que tienen que ser de la forma
(a b) (c d e f g) (h) (i)   ó   (a b) (c d e f g) (h i).
Se me ha ocurrido hacer (2! • 5!) + (2! • 5! • 2!) pero creo que me dejo posibilidades. ¿Está bien?


2.   Otro ejercicio propone lo siguiente:
a)   Dadas (1234) y (14) (23) permutaciones de \( S_6 \), sea H subgrupo de \( S_6 \) generado por esas permutaciones. ¿Es H isomorfo a \( D_4 \)?
He pensado que si H está generado por permutaciones de órdenes  4 y 2 respectivamente y  \( D_4 \) también, entonces podemos asegurar la construcción de una biyección de H a \( D_4 \) y por tanto, serían isomorfos, pero no sé si es suficiente para demostrarlo.

b)   Ahora nos pide lo siguiente:  si introducimos la permutación (56), y consideramos K subgrupo de \( S_6 \) generado por las tres permutaciones anteriores, quiero demostrar que es isomorfo a \( D_4 \times Z_2 \). 
¿Puedo suponer que \( K = H \times (5\quad 6) \) y así decir que H es isomorfo a \( D_4 \) y (5 6) a \( Z_2 \) y, por tanto, afirmar que se verifica lo que se pide?

[Luis Fuentes]

Hola

 (1) La idea es buena pero la cuenta está mal hecha.

 Para contar los elementos de la forma (a b) (c d e f g) (h) (i) tienes que contar las formas de elegir los dos elementos del ciclo de orden dos y las de elegir los cinco de la permutación de orden cinco. Serían:

\(  \displaystyle\binom{9}{2}\cdot \displaystyle\binom{7}{5} \)

 Después tener en cuenta cuantas permutaciones distintas cíclicas hay de orden \( n \) y de \( n \) elementos : son \( (n-1)! \)

 Te quedaría:

\(  \displaystyle\binom{9}{2}\cdot \displaystyle\binom{7}{5}\cdot 1!\cdot 4! \)

 Haz lo análogo para el otro tipo de permutación (a b)( c d e f g) (h i)

 (2a) Define el isormorfismo que lleva los generadores de S6 en los generadores de D4, pero ten en cuenta también las relaciones entre los generadores.

 (2b) No debes de suponer que \( K=H\times (5\quad 6) \), sino que debes de probarlo. Entonces tu argumento si funcionará.

Saludos.

[julyx]

Hola!

He estado mirando y en el apartado (2a) tengo que establecer el isomorfismo desde los generadores de H hasta los de D4, ¿no?

(2b) He probado demostrar que K = H x (5 6) viendo si K es producto directo interno de H y  la permutación (5 6) pero no consigo verlo con claridad. ¿Sigo intentándolo de ese modo o hay una manera más sencilla de llegar a probarlo?

Gracias por la ayuda.

Un saludo

[Luis Fuentes]

Hola

He estado mirando y en el apartado (2a) tengo que establecer el isomorfismo desde los generadores de H hasta los de D4, ¿no?

Si.

(2b) He probado demostrar que K = H x (5 6) viendo si K es producto directo interno de H y  la permutación (5 6) pero no consigo verlo con claridad. ¿Sigo intentándolo de ese modo o hay una manera más sencilla de llegar a probarlo?

Si, esa es la idea. Pero no es difícil. La clave es que las permutaciones de \( H \) y \( (5\quad  6) \) son disjuntas y por tanto conmutan.

Saludos.