[poolnikov]

Hola.
A ver si podeis ayudarme con este problema:


Dado el triángulo ABC encontrar un punto P interior al triángulo tal que las áreas de los triángulos ABP, BCP y CAP sean proporcionales a las longitudes \( m \), \( n \) y \( p \) de tres segmentos conocidos.


Gracias por vuestra ayuda.
Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 No estoy seguro al cien por cien de como tienes que resolver el problema (proponiendo una construcción, con geometría clásica, analítica, de cualquier forma...).

 Un par indicaciones:

 1) La suma de las áreas de los tres triángulos que se forman es el área del triángulo total. Por tanto puedes saber el área de cada uno de ellos, repartiendo el área total proporcionalmente a \( m,n \) y \( p \).

 Sabidas las áreas, puedes conocer la altura de cada uno de esos triángulos y trazando paralelas a cada lado a distancia la correspondiente altura tendrás el punto \( P \) como punto de corte.

 2) Hay un resultado conocido que también te resuelve "de golpe" el problema y que es fácil de probar usando por ejemplo geometría analítica. El punto \( P \) de coordenadas baricéntricas \( [x:y:z] \) respecto a la referencia \( A,B,C \) divide al triángulo en tres triángulos de áreas proporcionales a \( x,y,z \).

 Intenta explotar alguna de estas ideas adaptada al contexto donde te han propuesto el problema.

Saludos.

[poolnikov]

Hola

 No estoy seguro al cien por cien de como tienes que resolver el problema (proponiendo una construcción, con geometría clásica, analítica, de cualquier forma...).

Hola,
Yo tampoco estoy seguro, por eso lo planteo aquí. A ver que ideas surgen.
En cuanto al contexto del problema, se trata de un problema de oposición. Lo cual tampoco ayuda mucho ¿verdad?

1) La suma de las áreas de los tres triángulos que se forman es el área del triángulo total. Por tanto puedes saber el área de cada uno de ellos, repartiendo el área total proporcionalmente a \( m,n \) y \( p \).

 Sabidas las áreas, puedes conocer la altura de cada uno de esos triángulos y trazando paralelas a cada lado a distancia la correspondiente altura tendrás el punto \( P \) como punto de corte.

Así es como lo resuelvo yo. Calculo las 3 alturas y las expreso en función del area total del triángulo ABC, la longitud de los lados del triángulo ABC y los segmentos proporcionales.
Pero me surgen dudas, ya que estoy dando por supuesto que conozco el area de ese triangulo y la longitud de sus lados. Lo cual con este enunciado no me queda muy claro.

2) Hay un resultado conocido que también te resuelve "de golpe" el problema y que es fácil de probar usando por ejemplo geometría analítica. El punto \( P \) de coordenadas baricéntricas \( [x:y:z] \) respecto a la referencia \( A,B,C \) divide al triángulo en tres triángulos de áreas proporcionales a \( x,y,z \).

Pensaré en esta segunda forma.

Gracias

[Luis Fuentes]

Hola

 Si sabes lo que son las coordenadas baricéntricas, la segunda forma te proporciona un método constructivo para el punto \( P \).

Saludos.

[poolnikov]

Hola.
Lo cierto es que es la primera vez que lo oigo. (Que yo recuerde)
Estoy leyendo esto: http://www.aloj.us.es/rbarroso/trianguloscabri/sol/sol202garcap/cb.pdf

Gracias. Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 Si no llegas a nada vuelve a preguntar.

Saludos.

[Michel]

Veamos si sirve.

(ABP)/m=(BCP)/n=(CAP)/n=[(ABP)+(BCP)+(CAP)]/(m+n+p)

De aquí se deduce que  (ABP)/(ABC)=m/(m+n+p)      (1)

Pero como los triángulos ABP y ABC tienen la misma base AB, sus áreas son proporcionales a las alturas: (ABP)/(ABC)= x/ha      (2)
siendo x la altura del primero y ha la del segundo.

De (1) y (2) resulta   m/(m+n+p)=x/ha

Entonces x es una cuarta proporcional de tres segmentos conocidos; por tyanto trazamos ua paralela a AB a la distancia x, y en ésta estarña e punto P.

Hacemos lo mismo con el triángulo BCP y obtenemos la distancia de P a la base BC, trazando después la correspondiente paralela a BC.

La intersección de las dos paralelas es el punto P.

No sé si es correcto, porque lo he hecho muy rápido, con objeto de estar poco tiempo ante el ordenador.

Espero respuestas.

[Luis Fuentes]

Hola

 Es correcto, michel. 

Saludos.