[inverse]

Hola,
tengo una duda concreta en el siguiente ejercicio.
Se lanza una moneda N veces, donde la v.a N toma una distribución de Poisson(λ). Sea X el número de caras que hemos obtenido e Y el número de cruces. Determinar las leyes de X e Y y demostrad si son independientes.

Condiciono la ley de X por N para poder aislar la distribución de X.

\( P(X=x)=\sum_{n=x}^{\infty}P(X=x|N=n)P(N=n)=e^{-\lambda\,p}\frac{(\lambda\,p)^x}{x!} \)

Se concluye que X sigue una distribución de Poisson(λp). De la misma manera encuentro que Y sigue una distribución de Poisson(λ(1-p)).

Ahora debo ver si existe independencia entre X e Y.

\( P(X=x , Y=n)= P(X=x, N=k+n) = \) \( P(X=x, N=x+n)=P(X=x | N=x+n)\cdot P(N=x+n) \)

Entonces X e Y serán independientes si y solo si se cumple que P(X=x | N=x+n)·P(N=x+n) = P(X=x)P(Y=n)

Para calcularlo dispongo de

\( P(X=x) = e^{-\lambda\,p}\frac{(\lambda\,p)^x}{x!} \)

\( P(Y=n) = e^{-\lambda(1-p)}\frac{(\lambda(1-p))^n}{n!} \)

Pero cómo calculo P(X=x | N=x+n)·P(N=x+n) para que sea igual al producto de P(X=x) y P(Y=n)

¡Muchas gracias por vuestra ayuda!

[pierrot]

Tienes que:

\( \begin{align*}P(X=x,Y=y)&=P(X=x,N=x+y)\\&=P(X=x|N=x+y)P(N=x+y)\\&=\binom{x+y}{x}p^x(1-p)^{(x+y)-x}\cdot \frac{\lambda^{x+y}}{(x+y)!}e^{-\lambda}\\&=\frac{(x+y)!}{x!y!}p^x(1-p)^y\cdot \frac{\lambda^{x+y}}{(x+y)!}e^{-\lambda}\\&=\frac{(\lambda p)^x}{x!}\frac{\big(\lambda(1-p)\big)^y}{y!}e^{-\lambda}\end{align} \)

Nota que \( e^{-\lambda p}e^{-\lambda (1-p)}=e^{-\lambda} \). Concluye.

[inverse]

Muchas gracias por la ayuda  , muy cierto, allí es donde me había encallado en la aplicación de una binomial para la probabilidad condicional.