[davidmet]

Demostrar que f: \( \mathbb{R}\rightarrow{\mathbb{R}} \)  f(x) = x\( \left |{x}\right | \) es biyectiva y encuentre su inversa; lo primero que intenté hacer es demostrar que es inyectiva: tomé \( x_1 \) y \( x_2 \) del dominio de f y supuse que \( f(x_1) = f(x_2 \)) y tengo que llegar a que \( x_1=x_2 \) y como tiene valor absoluto la función lo hice por casos: para el primer caso: \( x_1 \), \( x_2 \) \( \geq{0} \) y llegué a que \( x_1=x_2 \); para el segundo caso \( x_1 \), \( x_2 \) \( \leq{0} \) tambien llegue a que \( x_1 \) = \( x_2 \); pero para el tercer caso en el que \( x_1 \) es menor a 0 y \( x_2 \) es mayor que 0, iguale f(\( x_1 \)) = f(\( x_2 \)) y me queda que \( x_1\left |{x_1}\right | \) = \( x_2\left |{x_2}\right | \) pero como \( x_1 \) es menor que 0 y \( x_2 \) es mayor que 0 me queda que \( x_1 \)(\( -x_1 \)) = \( x_2 \)(\( x_2 \)) y me queda que -\( (x_1)^2 \) = \( (x_2)^2 \) y obviamente por el signo negativo \( x_1\neq{x_2} \) pero eso significaría que la función no es inyectiva, pero haciendo la gráfica se ve que si es inyectiva, entonces no sé en qué parte de mi razonamiento estoy fallando.
 
Si me pudieran ayudar se los agradecería mucho, de antemano gracias

[Carlos Ivorra]

...y me queda que -\( (x_1)^2 \) = \( (x_2)^2 \) y obviamente por el signo negativo \( x_1\neq{x_2} \)

No. De la ecuación \( -(x_1)^2 \) = \( (x_2)^2 \) se deduce que \( x_1=x_2=0 \).