[pitmichael]

Hola amigos, necesito ayuda con este problema:

Demuestra que si \( A\in\mathbb{F}^{mxn} \) entonces \( A^{\dag} \) es la mejor aproximación a la inversa de \( A \) en el sentido de los mínimos cuadrados. Es decir
\( \begin{equation}
min_{X\in\mathbb{F}^{mxn} \left\|{I_{m}-AX}\right\|_{F}= \left\|{I_{m}-AA^{\dag}}\right\|_{F}
\end{equation} \).

Muchas gracias, espero vuestra ayuda.

[Luis Fuentes]

Hola

 ¿Cómo te han definido exactamente \( A^{\dag} \) y qué otras caracterizaciones quizá te han probado y por tanto puedes usar?.

Saludos.

[pitmichael]

Hola!

LLamamos a  la matriz \( A^{\dag} \) como la inversa generalizada de Moorde de \( A \) y se define como \( A^{\dag}=V\Sigma^{\dag}U^{*} \), siendo \( U \) y \( V \) unitarias y \( \Sigma^{\dag}=\begin{bmatrix}{Diag(\frac{1}{\sigma_{1}},...\frac{1}{\sigma_{r})}&{0}\\{0}&{0}\end{bmatrix} \) con \( r=Rank(A) \).

La inversa de Moore cumple las siguientes propiedades:

 i)\( AA^{\dag}A=A \)
 ii)\( A^{\dag}AA^{\dag}=A^{\dag} \)
 iii)\( A^{\dag}A=(A^{\dag}A)^{*} \)
 iv)\( AA^{\dag}=(AA^{\dag})^{*} \)

Gracias, un saludo

[Luis Fuentes]

Hola

 Prueba primero (puedes verlo aquí) que dado el sistema:

 \( Ax=b \)

 el vector \( A^{\dag}b \) es la solución de mínima norma del problema de mínimos cuadrados, es decir,

\(  \|AA^{\dag}b-b\|\leq \|Ax-b\| \) para cualquier vector \( x \)

 Entonces para cualquier vector \( b \) y cualquier matriz \( X\in F^{m\times n} \) se tiene que:

\(  \|(AA^{\dag}-Id)b\|\leq \|AXb-b\|=\|(Ax-Id)\| \)

Saludos.