[Esklus]

Hola, estoy muy atrapado en un problema, haber si pudieráis ayudarme. El enunciado es el siguiente:

"Sea \( ABC \) un triangulo del plano afín real y sea \( P \) un punto del costado \( AB \). Encontrar el lugar geométrico de los puntos medios de las diagonales de los paralelogramos \( PQMN \), tales que \( Q,M,N \) están sobre los costados \( AB, BC, AC \) respectivamente."

Evidentemente el lugar geométrico es el conjunto de puntos que satisfacen una condición.
Definimos el punto medio de la diagonal \( PN \) como \( M_{P,N}=\frac{1}{2}P+\frac{1}{2}N \) y hacemos lo mismo con el punto medio \( MQ \), \( M_{M,Q}=\frac{1}{2}M+\frac{1}{2}Q \). Claramente \( PM+PQ=PN \), con lo que \( N=P+PQ+PM \). ¿Voy bien? Realmente no tengo estrategia para finalizar...

Cualquier ayuda seria bien recibida, muchas gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

 Observa el dibujo.



 Sin pérdida de generalidad y por comodidad supongamos el origen de coordenadas en \( A \).

 Entonces por geometría analítica afín (método quizá no muy elegante pero funcional) ve comprobando que:

 1) el punto \( N \) es de la forma \( tC \) para \( t\in [0,1]. \)

 2) el punto \( M \) es de la forma \( tC+(1-t)B \) (para que \( NM \) sea paralelo a \( AB \)).

 3) el punto \( Q \) es de la forma \( P+M-N=P+(1-t)B \)

 4) el punto \( D \) es:

\(  D=\dfrac{N+Q}{2}=\dfrac{tC+P+(1-t)B}{2}=\dfrac{P+B}{2}+t(C-B) \)

 que es la ecuación de una recta que pasa por el punto .... y es paralela a ....

Saludos.

[Esklus]

Tengo un par de dudas acerca del dibujo:
1) El punto medio de cada diagonal no es obligatorio que coincida. Será así únicamente si los lados opuestos son paralelos. Por lo tanto, no solo habrá un punto D, sino un punto \( D_1 \) que sea el punto medio entre \( P,N \), y un punto \( D_1 \) que sea el respectivo de \( Q,M \).
2) En tu dibujo has puesto convenientemente los puntos para que los lados sean paralelos. Sin embargo, pueden no serlo.
3) El punto N podemos escribirlo como\(  N=A+\lambda AC \), ya que \( AN=\lambda AC \). Pero no entiendo la notación que utilizas, puesto que veo que haces sumas de puntos...

Una de las pistas que nos indica es que usemos que \( PM+PQ=PN \), y que \( AC=AB+BC \). Por eso no sé como aplicarlo.

Gracias por intervenir y ayudarme.

[Luis Fuentes]

Hola

1) El punto medio de cada diagonal no es obligatorio que coincida. Será así únicamente si los lados opuestos son paralelos. Por lo tanto, no solo habrá un punto D, sino un punto \( D_1 \) que sea el punto medio entre \( P,N \), y un punto \( D_1 \) que sea el respectivo de \( Q,M \).

No estoy de acuerdo. Según el enunciado la construcción se hace precisamente con la condición de que \( PQMN \) sea un paraleleogramo. Las diagonales de un paralelogramo siempre se cortan en su punto medio.

2) En tu dibujo has puesto convenientemente los puntos para que los lados sean paralelos. Sin embargo, pueden no serlo.

Insisto una vez más. Los lados son paralelos precisamente porque por imposición del enunciado \( PQMN \) es un paralelogramo.

3) El punto N podemos escribirlo como\(  N=A+\lambda AC \), ya que \( AN=\lambda AC \). Pero no entiendo la notación que utilizas, puesto que veo que haces sumas de puntos...

Si bueno, aquí estoy haciendo un abuso de notación. Para ser riguroso en todos los sitios donde aparezca un punto \( X \) se refiere en realidad al vector de posicion \( \vec{AX}. \)

Al la luz de todo esto relee mi primera respuesta.

Saludos.

[Esklus]

Veamos si lo he entendido...
Con mi notación obtengo que:
\( N=A+\lambda AC \)
\( M=A+\lambda AC+(1-\lambda)AB \),
\( Q=A+AP+AM-AN=A+AP+(1-\lambda)AB \),
\( D=\frac{AN-AQ}{2}=\frac{\lambda AC +AP+(1-\lambda)}{2}=\frac{AP+AB}{2}+\lambda(AC-AB) \)
¿Es esto correcto? Sin embargo, sigo sin saber el lugar geométrico que determinan los puntos medios de las diagonales... ¿Definen una recta?¿Y si cogieramos el caso extremo de P=A?

Gracias por tu paciencia.

[Luis Fuentes]

Hola

\( N=A+\lambda AC \)
\( M=A+\lambda AC+(1-\lambda)AB \),
\( Q=A+AP+AM-AN=A+AP+(1-\lambda)AB \),

Hasta ahí esta bien. Pero:

\( D=\frac{AN-AQ}{2}=\frac{\lambda AC +AP+(1-\lambda)}{2}=\frac{AP+AB}{2}+\lambda(AC-AB) \)

Sería:

\( D=A+\dfrac{AN+AQ}{2}=A+\dfrac{\lambda AC+AP+(1-\lambda)AB}{2}= \)

\( =A+\dfrac{AP+AB}{2}+\lambda(AC-AB)= \)

\( =
A+AP+\dfrac{AB-AP}{2}+\lambda BC=P+\dfrac{PB}{2}+\lambda BC \)

Sin embargo, sigo sin saber el lugar geométrico que determinan los puntos medios de las diagonales... ¿Definen una recta?

Si te fijas hemos obtenido que los puntos \( D \) se obtienen sumando a un punto fijo \( P+\dfrac{PB}{2} \) un múltiplo de un vector fijo, el \( BC \).

El punto fijo es justo el punto medio entre \( P \) y \( B \). El vector director el lado \( BC \).

Por tanto el lugar geométrico yace en la recta que pasa por tal punto medio y es paralela al lado \( BC \).

Y si cogieramos el caso extremo de \( P=A \)?

¿Cuál es el problema? El segmento \( PN \) coincidiría con el segmento \( AN \) pero no es una diferencia esencial.

Saludos.

[Michel]

Por si sirve de algo.

Cuando N recorre wl lado AC, M recorre el lado BC.

Observemos el triángulo PMB, en el que PB es fijo: D es el punto medio de PM, por lo que PD/PM es 1/2.

Se trata entonces de una homotecia de centro P y razón 1/2.

El lugar de D será...

[Esklus]

Gracias a ambos por vuestras respuestas.
¿Y si planteamos el caso \( P=B \)? Según lo que hemos obtenido, el punto medio \( D \) se encontraria en el segmento \( BC \), ¿no?
El problema es que este caso no lo visualizo, porque supondría que el punto \( P \) se encontraría a la derecha del punto \( Q \), con lo que las diagonales del paralelogramo cambiarían, y pasarian a ser \( PN \) y \( QM \). Y esto me confunde.

Gracias de nuevo.

[Luis Fuentes]

Hola

Gracias a ambos por vuestras respuestas.
¿Y si planteamos el caso \( P=B \)? Según lo que hemos obtenido, el punto medio \( D \) se encontraria en el segmento \( BC \), ¿no?
El problema es que este caso no lo visualizo, porque supondría que el punto \( P \) se encontraría a la derecha del punto \( Q \), con lo que las diagonales del paralelogramo cambiarían, y pasarian a ser \( PN \) y \( QM \). Y esto me confunde.

Si. Tienes razón hay un matiz.

Todo lo dicho es correcto si \( P \) está en la mitad del segmento \( AB \) más próxima a \( A \).

Si \( P \) está en la otra mitad entonces el paralelogramo sólo puede constuirse si unimos \( P \) con \( M \).

En ese caso ahora los puntos medios yacerían sobre la recta paralela a \( AC \) pasando por el punto medio de \( AP \).

Saludos.

[Esklus]

Muchas gracias el_manco. Hoy lo he comentado con algunos compañeros y resulta que en el caso \( P=B \) hay un problemilla. Evidentemente si el punto \( P \) queda a la derecha del punto \( Q \) sucede eso que has comentado. Ahora bien, si pensamos el triangulo como tres rectas las cuales se cortan dos a dos, entonces el punto \( Q \) podemos ubicarlo "fuera" del triangulo de manera que continuará estando a la derecha del punto \( P \). Se seguirían respetando las diagonales y el lugar geométrico sería exactamente la recta que contiene los puntos \( BC \).

Gracias por tu tiempo y tu ayuda.