[Piockñec]

No dejo de darle vueltas, pero es que yo no pondría ese delta de Kronecker... no le veo sentido a ponerlo ahí, no sé de dónde sale:

\( f^i=\dfrac{{\partial (eE^jE^i)}}{{\partial x_j}}-e\dfrac{{\partial (\dfrac{1}{2}\left |{\vec{E}}\right |^2)}}{{\partial x_i}} \)

\( f^i=\dfrac{{\partial (eE^iE^j-e\left |{\vec{E}}\right |^2\delta_{ij})}}{{\partial x_j}} \)

¿Alguien sabe por qué ese delta? ¡Muchas gracias! Es casi la primera vez que leo notación tensorial, y me gustaría aprender

P.D: La e es una constante.

P.P.D: Aporte de última hora: como el rotacional de E es 0, resulta que: \( \dfrac{{\partial E^i}}{{\partial x_j}}=\dfrac{{\partial E^j}}{{\partial x_i}} \). A ver qué saco con esto...

[Piockñec]

Por la respuesta de el_manco a otro hilo hace poquito, creo que ya sé cómo interpretarlo!!!

¿Podría ser que...?
\( f^i=\dfrac{{\partial (eE^jE^i)}}{{\partial x_j}}-e\dfrac{{\partial (\dfrac{1}{2}\left |{\vec{E}}\right |^2)}}{{\partial x_i}} \)

\( f^i=\dfrac{{\partial (eE^jE^i)}}{{\partial x_j}}-e\dfrac{{\partial (\dfrac{1}{2}E^{i^2})}}{{\partial x_i}} \)

Permutación de subíndices en el "restando"

\( f^i=\dfrac{{\partial (eE^jE^i)}}{{\partial x_j}}-e\dfrac{{\partial (\dfrac{1}{2}E^{i^2}\delta_{ij})}}{{\partial x_j}} \)

\( f^i=\dfrac{{\partial (eE^jE^i-\dfrac{1}{2}eE^{i^2}\delta_{ij})}}{{\partial x_j}} \)

\( f^i=\dfrac{{\partial (eE^iE^j-e\left |{\vec{E}}\right |^2\delta_{ij})}}{{\partial x_j}} \)

Y, en definitiva, ¿el delta ese ha aparecido porque he querido llamar E^i al vector en lugar de E^j?
En tal caso, ¿se podría eliminar si llamara al vector E^i, E^j "permutando subíndices", es ""legal""?
¡¡Muchas gracias!!

P.D.: Argumento fallido: El 1/2 debía irse, y no se va. ¿Qué está ocurriendo?

[Piockñec]

No importa, doy por cerrado el hilo. Quizá sea una errata del libro. Sigo sin estar muy convencido de lo del delta de kroneker, pero bueno...

[Luis Fuentes]

Hola

 En mi opinión tal como está escrito la "desaparición" del \( 1/2 \) no es correcta.

 A la hora de interpretar tu expresión ten en cuenta que el índice \( i \) en este caso es fijo. En cada término sólo aparece una vez. Es decir no hay ingún sumatorio asociadao a \( i \).

 Y realmente salvo el \( 1/2 \) (que no sé por que desaparece) lo único que hay que tener en cuenta para pasar de una expresión a otra es que el delta de Kronceker vale uno sobre índices iguales y cero si son distintos.

 Entonces (voy a "pasar" del \( 1/2 \)):

 \( f^i=\dfrac{{\partial (eE^jE^i)}}{{\partial x_j}}-e\dfrac{{\partial (\left |{\vec{E}}\right |^2)}}{{\partial x_i}}=\displaystyle\sum_{j=1}^n\left(\dfrac{{\partial (eE^jE^i)}}{{\partial x_j}}\right)-e\dfrac{{\partial (\left |{\vec{E}}\right |^2)}}{{\partial x_i}} \)

 Fíjate que en el primer sumando hay sumatorio pero en el segundo no.

 Ahora es lo mismo \( E^jE^i \) que \( E^iE^j \) simplemente porque el producto de números es conmutativo.

 Y por otra parte:

\( \dfrac{{\partial (\left |{\vec{E}}\right |^2)}}{{\partial x_i}}=\displaystyle\sum_{j=1}^n\dfrac{{\partial (\left |{\vec{E}}\right |^2\delta_{ij})}}{{\partial x_j}} \)

 Simplemente porque los términos de ese sumatorio que ahora hemos introducido en la derecha, son todos nulos (por el delta de Krocecker) excepto cuando \( j=i \)).

Saludos.

[Piockñec]

Qué alegría, ¡¡¡ahora lo veo también claro!!! ¡¡Muchas gracias!!
Mi error fue pensar que todo estaba en un sumatorio de j, también el segundo sumando (no lo concebía de otra forma).

Una pregunta: ¿Cómo has averiguado que el segundo sumando no tenía sumatorio? ¿Es porque no tenía subíndice j? Porque el primer miembro de la igualdad tiene subíndice (i) y no tiene sumatorio... ¿Hay alguna forma de saber cuándo tiene sumatorio un término y cuándo no? ¿O es que realmente siempre tienen sumatorio todos los índices, pero a veces para nuestros cálculos y razonamientos nos es "indiferente" el sumatorio más "externo", como lo es el del subíndice i? ¡Muchas gracias!

P.D.: Para que nos quedemos tranquilos: En las siguientes expresiones aparece el 1/2: Con lo cual, no debería desaparecer, es errata del libro

[Luis Fuentes]

Hola

 El criterio es este:

http://es.wikipedia.org/wiki/Convenio_de_sumaci%C3%B3n_de_Einstein

 En esencia se considera que hay un sumatorio en un indice si aparecen dos términos multiplicados indexados con ese mismo índice.

Saludos.

[Piockñec]

Vaya, muchas gracias, cuántos matices hay para el convenio! Me los estudiaré, y confiaré en que mis lecturas lo sigan!!! jajaja Thank you very much!!!