[tolli]

Hola, necesito ayuda con este problema:

Tenemos un espacio afín \(  \epsilon = ( \epsilon , V ,  \varphi) \), entonces podemos dotar a \( \epsilon \) de una estructura de espacio vectorial sobre K (aunque no de modo canónico) haciendo lo siguiente:

Fijamos un punto cualquiera \( A \in{\epsilon} \). Definimos entonces la suma interna (+) en \( \epsilon \) y el producto por escalares (·) del modo siguiente:

\( +: (P,Q,M\in{ \epsilon}), P+Q=M\textrm{ en } \epsilon \Longleftrightarrow{}  \overline{AP}+\overline{AQ}=\overline{AM}\textrm{ en }V \)

\( \cdot{}: (t\in{K}; P,Q\in{ \epsilon}), t\cdot{}P=Q\textrm{ en } \epsilon \Longleftrightarrow{}  t\cdot{}\overline{AP}=\overline{AQ}\textrm{ en }V \)

Comprobar que con estas operaciones, \( \epsilon \) es un espacio vectorial sobre K.


He conseguido sacar la prueba de las propiedades de la suma interna, pero no veo la forma de probar las propiedades del producto, alguna idea?? Gracias a todos de antemano!

[Luis Fuentes]

Hola

 Simplemente tienes que usar la definición del producto y la suma que te han dado:

 Por ejemplo para probar \( 1\cdot P=Q \) ten en cuenta que \( 1\cdot \overline{AP}=\overline{AQ} \).

 Para probar que \( \alpha(P+Q)=\alpha\cdot P+\alpha\cdot Q \) por comodidad llama:

 (1) \( P+Q=M \) y por tanto \( \overline{AP}+\overline{AQ}=\overline{AM} \)
 (2) \( \alpha P=P' \) y por tanto \( \alpha \overline{AP}=\overline{AP'} \)
 (3) \( \alpha Q=Q' \) y por tanto \( \alpha \overline{AQ}=\overline{AQ'} \)
 (4) \( P'+Q'=M' \) y por tanto \( \overline{AP'}+\overline{AQ'}=\overline{AM'} \)

 Usando esas cuatro condiciones, tienes que probar entonces que:

 \( \alpha M=M' \) es decir que \( \alpha \overline{AM}=\overline{AM'} \)

 Pero usando por este orden (1), (2)-(3) y (4):

\(  \alpha \overline{AM}=\alpha \overline{AP}+\alpha\overline{AQ}=\overline{AP'}+\overline{AQ'}=\overline{AM'} \)

 Continúa ahora con las otras propiedades...

Saludos.

[tolli]

Vale gracias, creo que ya lo he entendido!

Un saludo