[davidmet]

Hola me gustaría que me ayudaran con la demostración de estas 5 proposiciones:
1) Entre dos racionales cualesquiera hay una infinidad de irracionales
2)Entre dos irracionales cualesquiera hay una infinidad de racionales
3)Entre dos irracionales cualesquiera hay una infinidad de irracionales
4)Entre un racional y un irracional hay una infinidad de racionales
5)Ente un racional y un irracional hay una infinidad de irracionales

En clase intenté demostrar la primera: primero quise sacar solo un irracional entre dos racionales; lo que hice fue que como ya habíamos demostrado en clase que \( \displaystyle\frac{1}{\sqrt[2 ]{2}} \) es irracional y que esta igualdad se cumplía: \( 0\leq{\displaystyle\frac{1}{\sqrt[2 ]{2}}}\leq{1} \) entonces lo que hice fue sumar un racional cualquiera x a toda la desigualdad para que me quedase que \( x\leq{\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ 2]{2}}}+x\leq{1+x} \) y como la suma de un racional y otro racional da un racional entonces 1+x da otro racional digamos: y, luego como la suma de un irracional y un racional da un irracional entonces \( \displaystyle\frac{1}{\sqrt[2 ]{2}}+x \) es un irracional digamos i; y entonces me quedaría que \( x\leq{i}\leq{y} \); así era como quería empezar la primera proposición pero mi profesor me dijo que estaba mal ya que me estaba agarrando un número particular ya que la y, dependía de la x que tomaba y dijo que necesitaba agarrarme números racionales arbitrarios; por favor me gustaría que me hacharan la mano con estas proposiciones ya que estoy perdido de antemano gracias

[mario]

por favor me gustaría que me hacharan la mano con estas proposiciones ya que estoy perdido de antemano gracias

Lo que pides es horrible.

[davidmet]

error de dedo

[argentinator]

Sean \( p, q \), dos números racionales tales que \( p < q \).
Sea \( a_n \) la sucesión de números  \( a_n = p+(q-p)/(n\pi) \).

Demostrar que todos los elementos son irracionales, y que están entre p y q.


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Sean \( r,s \) dos números irracionales tales que \( r < s \).

Consideremos la sucesión de desarrollos decimales de \( s \), así:

\( s_n = [s].d_1d_2...d_n, \)

lo que significa la parte entera de \( s \), seguida del punto decimal, seguida de los primeros \( n \) dígitos decimales del desarrollo de \( s \).
Esta sucesión tiene la propiedad (demostrarla o convencerse) de que \( 0 < s-s_n < 10^{-n} \).
Además, todos los elementos de la sucesión son racionales. ¿Por qué?

Basta encontrar un n lo bastante grande tal que \( 10^{-n} < s - r \), y eso implicará que:

\( r < s_n < s. \)

Pero mejor todavía, para todo \( m > n \) también se cumplirá que:

\( r < s_n\leq s_m < s. \)

¿Por qué?

Entonces el conjunto de todos esos números \( s_m \) es infinito, contiene sólo racionales, y están entre \( r \) y \( s \).

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Los demás ítems no los hago..