[davidmet]

Hola, por favor, ayúdenme con este problema.

 Sea \( X =\{1, 2, 3, 4\} \) y sea \( f:X\rightarrow{X} \) la función dada por : \( f(1)= 2, f(2)=3, f(3)= 4, f(4)= 1 \). Demuestre que existe una única funcion \( g:{X}\rightarrow{X} \) tal que \( g(1)= 3 \) y \( f\circ{g} \) = \( g\circ{f} \)

La primera parte del problema ya lo tengo la función que construí es \( g(1)= 3, g(2)= 4, g(3)= 1, g(4)= 2 \), y esta función si cumple la parte de la composición. Ahora lo que me falta es ver que efectivamente esta función es única. Tenía pensado suponer que existe otra función \( h \) que cumpla las condiciones, y tendría que llegar a que \( g \) y \( h \) son las misma funciones es decir \( g=h \) pero no sé como hacer esto.

 Espero que me ayuden, de antemano gracias

[teeteto]

Para ver que \( g=h \) tienes que ver que coinciden en todos los puntos de \( X \); es decir, que \( h(1)=3 \), \( h(2)=4 \), \( h(3)=1 \) y \( h(4)=2 \).

Que \( h(1)=3 \) es cierto por hipótesis.

Ahora, \( h(2)=h(f(1))=f(h(1))=f(3)=4 \)  [usando que \( f \) y \( h \) conmutan]

y así con los otros

[Luis Fuentes]

Hola

 En realidad de las condiciones que estamos exigiendo:

 \( g\circ f=f\circ g \) y \( g(1)=3 \),

 nos queda determinada de manera inequívoca la función \( g \). Basta que apliques la anterior igualdad a los cuatro elementos de \( X \) en el orden adecuado:

\(  (g\circ f)(1)=(f\circ g)(1)\quad \Rightarrow{}\quad g(f(1))=f(g(1))\quad \Rightarrow{}\quad g(2)=f(3)=4 \)
\(  (g\circ f)(2)=(f\circ g)(2)\quad \Rightarrow{}\quad g(f(2))=f(g(2))\quad \Rightarrow{}\quad g(3)=f(4)=1 \)
\(  (g\circ f)(3)=(f\circ g)(3)\quad \Rightarrow{}\quad g(f(3))=f(g(3))\quad \Rightarrow{}\quad g(4)=f(1)=2 \)

Saludos.

P.D. Se me adelanto teeteto