Hola
a) Demostrar que los polinomios son base de E.
\( 0x^2+0x+0=0(x) \)
\( m[P1(x)]+n[P2(x)]+h[P3(x)]=0(x)
m(1+x)+n(-x+x^2)+h(2+x^2)=(0+0x+0x^2)
(m+2h)+(m-n)x +(n+h)x^2 = (0+0x+0x^2) \)
Resuelvo el sistema y me da que:
m = n = h = 0 I por lo tanto son L.I..
Correcto.
Entonces, por la teoría:
P1(x)+P2(x)+P3(x) son L.I.
Supongo que has querido poner \( P_1(x),P_2(x),P_3(x) \) son L.I. (es decir NO sumados)
E=<P1(x),P2(x),P3(x)>
Lo que hace que P1, P2 y P3 sean base de E y tenga dim= 3
Aquí cuidado. Has probado que son independientes. Entonces para probar que son base te falta ver que son un sistema generador. Esto puede hacerse al menos de dos formas:
1) Directamente probando que todo polinomio de \( E \) puede ponerse como combinación lineal de \( P_1(x),P_2(x),P_3(x). \) Es decir justificando que el sistema:
\( mP_1(x)+nP_2(x)+hP_3(x)=ax^2+bx+c \)
tiene solución para cualesquiera \( a,b,c\in \mathbb{R}. \)
2) Usando que sabemos que la dimensión de \( E \) es tres (porque te lo hayan probado o porque es muy directo ver que \( \{1,x,x^2\} \) es una base). Luego aplicando el siguiente resultado: en un espacio vectorial \( n \)-dimensional, \( n \) vectores linealmente independientes son base.
b) Busca los componentes del polinomio \( 4-x+4x^2 \) respecto de la base anterior.
(Aquí no sé muy bien lo que debo hacer, pero empecé así):
\( m(1+x)+n(-x+x^2)+h(2+x^2)= 4-x+4x^2 \)
Está bien, pero no se lo que has hecho después. Lo que tienes que hacer es agrupar en el primer término los coeficientes de las potencias de \( x \), es decir:
\( (m+2h)+(m-n)x+(n+h)x^2=4-x+4x^2 \)
y usando que dos polinomios son iguales si tienen los mismos coeficientes, te queda el sistema:
\( m+2h=4,\quad m-n=-1,\quad n+h=4 \)
que seguro sabes resolver.
Saludos.
