Hola
Buenas noches,
Estamos dando el rango de una matriz como la dimensión de su imagen, es decir, \( rank(A)=dim(Im(A)) \). Nos han indicado que tiene algo que ver con el primer teorema de isomorfia, pero no consigo verlo...
Espero tu ayuda, gracias
Bien. Es decir te han definido el rango como el número de columnas independientes de la matriz. Lo que hay que probar es que coinciden con el número de filas independientes.
Aun así a la hora de formalizar la prueba hay que fijar bien en que resultados podemos basarnos y tener cuidado de no caer en circularidades, es decir, usar un resultado más fuerte que el que queremos probar (y que quizá para demostarlo se haya usado precisamente nuestro teorema objetivo).
(I) Quizá lo más standard es:
1) (El paso clave) Probar que las operaciones elementales filas y columnas no modifican el número de filas independientes. Y tampoco el número de columnas independientes.
2) Luego tener en cuenta (y esto ya es fácil y tiene que ver con lo que indicaba teeteto) que cualquier matriz puede reducirse mediante operaciones elementales fila y columna a una diagonal (no necesariamente una matriz diagonal, si no es cuadrada) de unos completada con ceros. El número de unos es obviamente el número de filas y también de columnas independientes.
(II) Otro punto de vista usando más artillería (y aquí es donde hay que tener cuidado de que cosas se han usado para justificar ese arsenal) es tener en cuenta que el núcleo de \( A \in M_{m\times n} \) es la solución del sistema homogéneo:
\( Ax=0 \)
Ahora la dimensión de la solución de ese sistema homogéneo es \( n \) menos el número de filas independientes, es decir, \( n-rank(A^t) \). Y por otra parte por los teoremas de isomorfía:
\( dim(ker(A))+dim(Im(A))=n \)
de ahí se deduce que \( rank(A)=dim(Im(A))=n-dim(Ker(A))=n-(n-rank(A^t))=rank(A^t) \).
Ahora insisto en que este método es delicado, porque hay que revisar que para probar el resultado marcado en rojo o no se haya utilizado precisamente lo que se quiere probar.
(III) Otra opción es probar que el rango por columnas de una matriz coincide con la dimensión de la mayor submatriz de determinante no nulo. Luego usar que el determinante de una matriz coincide con la de su traspuesta. Pero desde luego si uno tiene que probar todo esto desde "cero", la prueba se haría muy larga.
Saludos.
