[juantv]

Buenas,

Debo demostrar que

\(  f(x) =
   \left \{
   \begin{array}{rcl}
      x^2, & \mbox{si } & x \mbox{ es irracional }  \\
       0, & \mbox{si } & x \mbox{ es racional }
   \end{array}
   \right . \)  es continua solamente en \( x = 0 \)

mi intento :

lo que debo hacer es demostrar que es continua en \( x = 0 \) y que no es continua en \( x = a \) con \( a \neq{0} \)

\( f(x) \) es continua en \( x = 0 \) :

debo demostrar que \( \displaystyle\lim_{x\to 0}f(x) = 0 = f(0) \)


luego debe ser cierto que \( \forall \varepsilon > 0 \quad  \exists \delta > 0: \quad 0<|x|< \delta \implies |x^2 |<\varepsilon \)

D./ sea x que varia entre -1 y 1  (\( -1<x<1 \)) ya que tiende a 0 , osea \( |x|<1  \)

\( | x^2 | = |x||x| < |x| \) , sea \( \delta = \varepsilon \) y como \( |x|< \delta \) tengo que

\( | x^2 | < |x| < \delta = \varepsilon \)

por lo que queda demostrado que para x irracional \( \displaystyle\lim_{x\to 0}f(x) = 0 \)


tambien debe ser cierto que \( \forall \varepsilon > 0 \quad  \exists \delta > 0: \quad 0<|x|< \delta \implies |0-0 |= 0<\varepsilon \)

y como es \( \forall \varepsilon > 0 \) , lo anterior se cumple para cualquier \( \delta \)

por lo que queda demostrado que para x racional \( \displaystyle\lim_{x\to 0}f(x) = 0 \)

como \( f(0)=0 \) (porque 0 es racional) tengo que

\( \displaystyle\lim_{x\to 0}f(x) = 0 = f(0) \) , luego la funcion es continua en \( x = 0 \)


¿lo que he dicho es correcto?


\( f(x) \) no es continua en \( x = a \) , \( a\neq{0} \) :

no se como demostrar que no es continua en cualquier punto (distinto de cero)

solo puedo decir que \( f(x) \) no tiende a ningún limite cerca de \( a (a\neq{0}) \) porque alrededor de \( a \) existen números x con \( f(x) = 0 \) y \( f(x) = x^2 \)

no se me ocurre algo más, supongo que esto no es un argumento del todo válido que demuestre que \( f(x) \) no es continua en \( x = a  (a\neq{0}) \) , ¿verdad?



Agradezco su orientación al respecto

[Carlos Ivorra]

Quedaría más elegante si no separaras el cálculo del límite en un límite para racionales y otro para irracionales:

Dado \( \epsilon>0 \), toma \( \delta = \min\{1,\epsilon\} \). Entonces, si \( |x|<\delta \), se cumple que \( |f(x)|<\epsilon \). Para probar esto usa tus propios cálculos separando el caso en que \( x \) es racional o irracional, pero lo que te digo es que así queda más elegante porque estás aplicando la definición de límite una sola vez sobre toda la función \( f \), y no sobre sus restricciones a los racionales o los irracionales.

Respecto a la otra parte, si \( f \) es continua en \( a \), entonces existe \( \lim\limits_{x\rightarrow a}f(x) \), luego si pruebas que \( f \) no tiene límite, entonces no es continua.

[juantv]

para demostrar que \( \lim\limits_{x\rightarrow a}f(x) \) no existe, solo tengo argumentos en palabras para expresarlo.

" \( f(x) \) no tiende a ningún limite cerca de \( a (a\neq{0}) \) porque alrededor de \( a \) existen números \( x \) con \( f(x) = 0 \) y \( f(x) = x^2 \) (en cualquier intervalo alrededor de \( a \) encontrare siempre un irracional y un racional "

no veo como llevar esto a algo formal y demostrarlo, imagino que es suponiendo un \( \varepsilon \) y mostrar que no es posible que el limite exista, pero ¿como?.


Agradezco su orientación al respecto.

[Carlos Ivorra]

Toma \( a\neq 0 \). Por la continuidad de la función \( x^2 \) en \( \mathbb R \), fijado \( \epsilon = a^2/2>0 \) existe un \( \delta>0 \) tal que si \( |x-a|<\delta \) entonces \( |x^2-a^2|<a^2/2 \), luego \( |x^2| = |x^2-a^2+a^2|\geq ||x^2-a^2|-|a^2||\geq a^2/2 \).

Deduce que en todo entorno de \( a \) existe un punto donde \( |f(x)|\geq a^2/2 \), luego no se cumple la definición de continuidad para \( \epsilon = a^2/2 \).

[Luis Fuentes]

Hola
 
 Lo más cómodo para probar la no existencia de límite es usar límites secuenciales. Si el límite en \( x_0 \) existe y es \( L \) entonces para cualquier sucesión \( \{x_n\}\to x_0  \) con \( x_n\neq 0 \) se tiene que \( \{f(x_n)\}\to L \).

 Pero en tu caso si tomas \( x_0\neq 0 \), si la sucesión es de números racionaes  tendrías que \( \{f(x_n)\}=\{0\}\to 0 \) pero si es de irraciones \( \{f(x_n)\}=\{x_n^2\}\to x_0^2\neq 0 \).

Saludos.

P.D. Se me adelantó Carlos.

[juantv]

solo entendí hasta aquí

\( \displaystyle |x^2| = |x^2-a^2+a^2| = |x^2 -a^2 - (-a^2)| \geq ||x^2-a^2|-|-a^2|| \) \( = ||x^2-a^2|-|a^2|| \)

osea \( |x^2| \geq ||x^2-a^2|-|a^2|| \) , de aquí no se como pasas a que \( |x^2| \geq ||x^2-a^2|-|a^2||\geq a^2/2 \) usando lo que tenemos que es \( \displaystyle |x^2-a^2| < \frac{a^2}{2} \)

ademas no entiendo muy bien porque si existe un punto alrededor de \( a \) donde \( |f(x)|\geq a^2/2 \) no se cumplirá la continuidad para \( \epsilon = a^2/2 \)

¿acaso por que dado un \( a \) racional(por ejemplo 2) \( f(x) = 0 \) y no puede ser \( 0\geq 2^2/2 \) y entonces no es posible ?


no se si sirva de algo pero es mi primer curso de calculo, y al parecer les entendí casi nada de lo que me dijeron


Agradezco su orientación al respecto

[Carlos Ivorra]

osea \( |x^2| \geq ||x^2-a^2|-|a^2|| \) , de aquí no se como pasas a que \( |x^2| \geq ||x^2-a^2|-|a^2||\geq a^2/2 \) usando lo que tenemos que es \( \displaystyle |x^2-a^2| < \frac{a^2}{2} \)

Bueno, fíjate en que \( |x^2-a^2|<a^2/2<a^2 \), luego

\( ||x^2-a^2|-|a^2||=a^2-|x^2-a^2| \),

porque la resta en ese orden es positiva. Es como si te digo que \( |3-7|=7-3 \).

Y ahora, como  \( \displaystyle |x^2-a^2| < \frac{a^2}{2} \), también  \( \displaystyle -|x^2-a^2| > -\frac{a^2}{2} \), luego  \( \displaystyle a^2-|x^2-a^2| >a^2 -\frac{a^2}{2}=\frac{a^2}2 \).

ademas no entiendo muy bien porque si existe un punto alrededor de \( a \) donde \( |f(x)|\geq a^2/2 \) no se cumplirá la continuidad para \( \epsilon = a^2/2 \)

Supón que la función es continua en \( a\neq 0 \) y toma \( \epsilon=a^2/2>0 \). Entonces debería existir un \( \delta>0 \) tal que si \( |x-a|<\delta \) entonces \( |f(x)-f(a)|<a^2/2 \), pero esto es imposible:

Si \( a \) es racional, entonces \( f(a)=0 \), y tendría que ser \( |f(x)|<a^2/2 \), cuando hemos visto que siempre hay puntos \( x \) cercanos a \( a \) donde se cumple la desigualdad contraria.

Si \( a \) es irracional, entonces tiene que ser \( |f(x)-a^2|<a^2/2 \), pero siempre puedes tomar un \( x \) racional que cumpla \( |x-a|<\delta \), y para dicho \( x \) falla la desigualdad, pues se reduce a \( a^2<a^2/2 \), que es falso.

no se si sirva de algo pero es mi primer curso de calculo, y al parecer les entendí casi nada de lo que me dijeron

Claro que sirve de algo. No se responde igual a una misma pregunta según qué conoce ya el que pregunta.

[juantv]

creo que lo entendí mejor

a mi me sale \( |x^2| \geq ||x^2-a^2|-|a^2|| = a^2 - |x^2 - a^2| > a^2 /2 \)

osea \( |x^2| > a^2 /2 \)  y no  \( |x^2| \geq{a^2 /2} \)

¿es acaso porque si algo es mayor es mayor o igual? (¿acaso me sirve mas trabajar con el \( \geq{} \) ?)

como supiste que una elección conveniente era \( \varepsilon = a^2 /2 \) ¿intuición, experiencia ?

de resto que creo que lo asimile mejor



Gracias por la orientación a ambos.

[Carlos Ivorra]

osea \( |x^2| > a^2 /2 \)  y no  \( |x^2| \geq{a^2 /2} \)

¿es acaso porque si algo es mayor es mayor o igual? (¿acaso me sirve mas trabajar con el \( \geq{} \) ?)

Sí, es cierto con \( > \), pero me bastaba \( \geq \).

como supiste que una elección conveniente era \( \varepsilon = a^2 /2 \) ¿intuición, experiencia?

Necesitaba un \( \epsilon>0 \) que al restárselo a \( a^2 \) no llegara a \( 0 \). Tomar \( a^2/2 \) era una posibilidad entre muchas.