Hola
En realidad deberías de plantear para cada \( y\geq 0 \):
\( |ln(x-1)+1|=y \)
De ahí hay dos posibilidades:
(i) \( ln(x-1)+1=y \)
(ii) \( ln(x-1)+1=-y \)
Despejamos \( x \) en cada uno de ellos:
(i) \( ln(x-1)=y-1\quad \Leftrightarrow{}\quad x-1=e^{y-1}\quad \Leftrightarrow{}\quad x=e^{y-1}+1 \)
(ii) \( ln(x-1)=y-1\quad \Leftrightarrow{}\quad x-1=e^{-y-1}\quad \Leftrightarrow{}\quad x=e^{-y-1}+1 \)
El hecho de que aparezcan dos ramas para la inversa es fruto de que la función de partida no es inyectiva (y por tanto, si no retringimos el dominio, estrcitamente no tiene inversa).
Observa que la primera función, para \( y\geq 0 \), \( g(y)=e^{y-1}+1 \) toma valores en \( [1-e^{-1},+\infty). \)
La segunda, para \( y\geq 0 \), \( g(y)=e^{-y-1}+1 \) toma valores en \( (0,1-e^{-1},+\infty]. \)
Por tanto si restringimos el dominio de la función de partida a \( [1-e^{-1},+\infty). \) la inversa sería \( f^{-1}(y)=
e^{y-1}+1 \).
Si lo restringimos a \( (0,1-e^{-1}) \) sería \( f^{-1}(y)=e^{-y-1}+1 \).
Saludos.
