Piensa que el subgrupo no puede ser de la forma \( H\times K \), donde \( H \) es subgrupo de \( Q_8 \) y \( K \) es subgrupo de \( Z_4 \), pues entonces sería normal.
Esto significa que no puedes definirlo como el conjunto de los pares \( (u,v) \) tales que \( u \) cumple algo y \( v \) cumple algo (de forma independiente), pues eso te daría un producto cartesiano, sino que la definición tiene que ser de la forma "conjuntos de pares \( (u,v) \) tales que \( u \) esté relacionado de alguna forma con \( v \)".
Desde un punto de vista algebraico, una condición suficiente para que esto suceda es que el subgrupo sea, por ejemplo cíclico de orden \( 4 \) y que no esté contenido en ninguno de los dos subgrupos, es decir, que no sea de la forma \( H\times 1 \) o \( 1\times K \), pues entonces seguro que no se puede descomponer en producto de dos subgrupos.
Para eso tienes que poder relacionar de alguna forma los elementos de \( Q_8 \) con los de \( Z_4 \). Una forma de hacerlo es tomar como \( Z_4 \) un subgrupo de \( Q_8 \), por ejemplo \( \left<i\right> \), es decir, considerar el grupo \( Q_8\times \left<i\right> \).
Y un subgrupo que podemos considerar siguiendo estas ideas es \( H=\{(u,u)\mid u\in \left<i\right>\} \), es decir, pedimos que la relación entre las componentes de sus elementos es que sean la misma.
Claramente, \( H \) no es normal, porque contiene, por ejemplo, a \( (i,i) \), pero si conjugamos \( (i,i)^{(j,1)}= (-i,i) \) nos salimos de \( H \).
