[juantv]

\( \displaystyle\lim_{x \to 0^-}\frac{x}{|x|} \)


¿Qué procedimiento debo seguir para calcular un límite lateral?


Mi intento :

si lo hago tabulando, dando valores a x próximos a cero por la izquierda y evaluando la función, ¿no sería una forma válida o sí?
Si lo hago así, obtengo que \( \displaystyle\lim_{x \to 0^-}\frac{x}{|x|} = -1 \)


si intento demostrar esto, tendría que demostrar la implicación


\( \forall \varepsilon > 0 \quad  \exists \delta > 0: \quad 0-\delta<x<0 \implies \left|\dfrac{x}{|x|}-(-1)\right|<\varepsilon \)


se tiene que


\( \left|\displaystyle\frac{x}{|x|}-(-1)\right| =\displaystyle|\frac{x + |x|}{|x|}| = \frac{|x + |x||}{|x|}| \leq{\frac{|x| + |x|}{|x|}} = 2 > 0 \)


pero no entiendo qué puedo concluir de eso, que dado un x tal que \(  -\delta<x<0 \) tendré que \( |\dfrac{x}{|x|}-(-1)|\leq{2} \) , me confundo en intentar sacar conclusiones, no he demostrado nada.


Otra forma que se me ocurre es que


\( \displaystyle\frac{x}{|x|}-(-1)| \leq{\frac{2 |x|}{|x|}} \)


como \( x \) tiende a cero por la izquierda puedo hacer variar \( x \) entre -1 y 0 : \( -1 < x < 0 < 1 \) o \( |x|<1 \)


con lo que


\( \displaystyle\frac{x}{|x|}-(-1)| \leq{\frac{2 |x|}{|x|}} < 2|x| \)


ahora sea \( \delta=\dfrac{\varepsilon}{2} \) y dado que \( -\delta<x<0 \) o \( |x|< \delta \)


\( \displaystyle\frac{x}{|x|}-(-1)| \leq{\frac{2 |x|}{|x|}} < 2|x| < 2 \delta = 2 \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon \)


O sea \( |\dfrac{x}{|x|}-(-1)| < \varepsilon \) que es a lo que quería llegar; osea que


\( \displaystyle\lim_{x \to 0^-}\frac{x}{|x|} = -1 \)


¿Es este procedimiento correcto?

Si no lo es, ¿cómo puedo hallar un limite lateral o en su caso cómo demostrar que cierto valor es el valor del limite lateral?


Agradezco su orientación al respecto.

[mathtruco]

No es necesario utilizar la definición del límite. Como estás analizando el límite por la izquiera de \( 0 \), entonces \( x<0 \), por lo que

    \( \dfrac{x}{|x|}=\dfrac{x}{-x}=-1 \)

Luego,

    \( \displaystyle\lim_{x\to0^-}\dfrac{x}{|x|}=\lim_{x\to0^-}\dfrac{x}{-x}\lim_{x\to0^-}-1=-1 \).


Si de todas formas quieres calcularlo usando la definición de límite (lateral), hay que demostrar:

\( (\forall \epsilon>0)(\exists\delta>0) 0<0-x<\delta\Rightarrow \left|\dfrac{x}{|x|}-(-1)\right|<\epsilon \)

Notar que \( 0<0-x<\delta\Rightarrow x<0 \), por lo que \( \dfrac{x}{|x|}=\dfrac{x}{-x}=-1 \). Con esto

    \( \left|\dfrac{x}{|x|}-(-1)\right|=\left|-1+1\right|=0<\epsilon \)  (para cualquier \( \epsilon>0 \))

por lo que para cualquier \( \epsilon>0 \), puedes elegir cualquier \( \delta \) y se tendrá el resultado.

[juantv]

solo tengo duda en esta parte:

si utilizo la definición de limite lateral tendría

\( (\forall \epsilon>0)(\exists\delta>0) 0 - \delta <x<0 \Rightarrow \left|\dfrac{x}{|x|}-(-1)\right|<\epsilon \)

o lo que es lo mismo

\( (\forall \epsilon>0)(\exists\delta>0) - \delta <x<0 \Rightarrow \left|\dfrac{x}{|x|}-(-1)\right|<\epsilon \)

usted estableció primero \( 0 - \delta <x<0 \equiv{- \delta <x<0} \)  para llegar a \( 0<0-x<\delta \) ?

si no fue así, ¿como estableces de una vez que \( 0<0-x<\delta \) ? ¿acaso erre en mi definición de limite lateral?

entiendo que de \( - \delta <x<0 \) se puede llegar a \(  0<0-x<\delta \) pero me surge la duda de si estoy haciendo pasos innecesarios.


Agradezco su orientación al respecto.

[Luis Fuentes]

Hola

 No entiendo tus dudas.

 Es lo mismo:

 \( 0<0-x<\delta \)

 que

 \( -\delta<x<0 \)
 
 Y en cualquiera de los dos casos se tiene de manera directo lo que te interesa, que x<0. Eso es lo que te permite escribir:

 \( \dfrac{x}{|x|}=-1 \)

 y trivializar las cuentas.

Saludos.