La única forma que conozco de contarlos requiere saber algo sobre ordinales:
Se define \( \Sigma_1^0 \) como el conjunto de todos los abiertos de \( \mathbb R \), y \( \Pi_1^0 \) como el conjunto de todos los cerrados.
Supuestos definidos \( \Sigma_\alpha^0 \) y \( \Pi^0_\alpha \), donde \( 0<\alpha<\omega_1 \), se define \( \Sigma_{\alpha+1}^0 \) como el conjunto de las uniones numerables de conjuntos \( \Pi_\alpha^0 \), y se define \( \Pi_{\alpha+1}^0 \) como el conjunto de los complementarios de los conjuntos de \( \Sigma_{\alpha+1}^0 \) (que es lo mismo que el conjunto de las intersecciones numerables de los conjuntos \( \Pi_\alpha^0 \).
Supuestos definidos \( \Sigma_\alpha^0 \) y \( \Pi^0_\alpha \) para todo \( \alpha<\lambda \), donde \( \lambda<\omega_1 \) es un ordinal límite, se define
\( \Sigma_\lambda^0 = \bigcup\limits_{\alpha<\lambda}\Sigma_\alpha^0,\qquad \Pi_\lambda^0 = \bigcup\limits_{\alpha<\lambda}\Pi_\alpha^0 \).
Por último se define \( \mathca B = \bigcup \limits_{1\leq \alpha<\aleph_1}\Sigma_\alpha^0 \).
Se comprueba por inducción transfinita que los elementos de cada conjunto \( \Sigma_\alpha^0 \) o \( \Pi_\alpha^0 \) son de Borel, con lo que \( \mathcal B \) está contenida en la \( \sigma \)-álgebra de Borel. Recíprocamente, se comprueba que \( \mathcal B \) es una \( \sigma \)-álgebra de subconjuntos de \( \mathbb R \) que contiene a los abiertos. Esto implica que \( \mathcal B \) es la \( \sigma \)-álgebra de Borel.
Por otra parte, se comprueba por inducción que cada familia \( \Sigma_\alpha^0 \) y \( \Pi^0_\alpha \) tiene cardinal \( 2^{\aleph_0} \), con lo que \( |\mathcal B|\leq \sum\limits_{\alpha<\omega_1}\Sigma_\alpha^0\leq \sum\limits_{\alpha<\omega_1}2^{\aleph_0}=\aleph_1\cdot 2^{\aleph_0}=2^{\aleph_0} \).
