[javas]

Ayúdenme por favor resolviendo e indicando paso a paso cómo se realiza dicho ejercicio, soy nuevo en el tema y necesito hacer varios de estos.

Mil gracias.

\( 37x \equiv 2 \pmod {41} \)

[filomates]

Hola
El mínimo común múltiplo de 37 y 41 es 1, que es divisor de todos los números, en particular de 2
Por tanto hay solución
Ahora en encontramos dos números enteros \( \alpha \) y \( \beta \) tales que \( 37 \alpha +41 \beta = 1 \)
Para encontrarlos, divido 41 entre 37 obteniendo cociente 1 y resto 4, y de ahí \( 4=41-37 \)
Ahora divido 37 entre el resto obtenido, 4 y da cociente 9 y resto 1 de manera que \( 1=37-4 \cdot 9 \)
Sustituyendo la primera igualdad en la segunda:
\( 1=37-4 \cdot 9 = 37 - (41-37) \cdot 9 = 37 - 41 \cdot 9 + 37 \cdot 9 = 37 \cdot 10 - 41 \cdot 9  \)
En resumen \( 1= 37 \cdot 10 - 41 \cdot 9 \)
Multiplicamos la igualdad anterior por 2 y obtenemos \( 2= 37 \cdot 20 - 41 \cdot 18 \)
Si ahora comparamos con la congruencia que hay que resolver, \( 37x\equiv{2}\pmod{41} \)
que significa \( 37x-2 =41q \) y que puede ponerse \( 2=37x-41q \) observamos que \( x=20 \) y \( q=18 \)
El q no lo necesitamos para nada, pero hemos obtenido x=20 que es la solución
Bueno, 20 y todos los números congruentes con 20 módulo 41
Espero que esto te sirva.
Hasta pronto

[teeteto]

La idea de filomates es la general.

En este caso se puede proceder más rápido por ejemplo así:

\( 2\equiv 37x\equiv -4x\ (mod 41) \)

luego

\( 20\equiv -40x\equiv x\ (mod 41) \)

pero esto ha sido corto porque ha habido suerte.

[javas]

MIl GRacias Amigos me ha servido mucho.

[javas]

Amigos les pido revisar si este ejercicio esta bien desarollado. gracias

Del siguiente ejemplo 37x (mód 42) = 2

Mínimo común múltiplo  de 37 y 42 es 1
Encontramos dos números enteros 37a + 42b = 1
Divido 42 entre 37 obteniendo el cociente 1 y  el resto 5
Teniendo 5=42-37
Ahora divido 37 entre del resto obtenido que es 5 y nos da cociente 7 y resto 2
Teniendo 2=37-8.7
Sustituyendo la primera igualdad:
2=37-8.7=37-(37-42).7=37-42.7+37.7=37.8-42.7

En resumen tengo  1=37.8-42.7
Multiplicamos la congruencia anterior por 2 y tenemos: 2=37.16-42.14

RESULTADO X=16

[Luis Fuentes]

Hola

Esto está mal:

Divido 42 entre 37 obteniendo el cociente 1 y  el resto 5
Teniendo 5=42-37
Ahora divido 37 entre del resto obtenido que es 5 y nos da cociente 7 y resto 2
Teniendo 2=37-8.7

Lo que te quedaría es:

\( 2=37-5\cdot 7 \)

A partir de ahí tienes que corregir todo.

Saludos.

[javas]

Muchas GRacias, como sabran soy nuevo en este tema y estoy desarrollando unos ejercicios me eh topado con uno que no se commo va les comparto a que me indiquen el error por favor y como debo proceder.

    13x (mod 42) =17

Mínimo común múltiplo  de 13 y 42 es 1
Encontramos dos números enteros 13a + 42b = 1
Divido 42 entre 13 obteniendo el cociente 3 y  el resto 3
Teniendo 3=42-39
Ahora divido 13 entre del resto obtenido que es 3 y nos da cociente 4 y resto 1
Teniendo 1=13-3.4
Sustituyendo la primera igualdad:
1=13-3.4            =13-(13-42).4               =13-42.4+13.4             =13.5-42.4
En resumen tengo  1=13.5-42.4
Multiplicamos la congruencia anterior por 2 y tenemos: 1=13.10-42.8


Agradezco su tiempo invetido en nosotros.

[Luis Fuentes]

Hola

Encontramos dos números enteros 13a + 42b = 1
Divido 42 entre 13 obteniendo el cociente 3 y  el resto 3
Teniendo 3=42-39
Ahora divido 13 entre del resto obtenido que es 3 y nos da cociente 4 y resto 1
Teniendo 1=13-3.4
Sustituyendo la primera igualdad:
1=13-3.4            =13-(13-42).4               =13-42.4+13.4             =13.5-42.4
En resumen tengo  1=13.5-42.4

Pero cuando sustituyes lo haces mal.

Sería:

\( 1=13-3\cdot 4=13-(42-39)\cdot 4=13-(42-3\cdot 13)\cdot 4=\ldots \)

Saludos.

[javas]

Gracias por su tiempo, entonces quedaria de las siguiente manera?


Mínimo común múltiplo  de 13 y 42 es 1
Encontramos dos números enteros 13a + 42b = 1
Divido 42 entre 13 obteniendo el cociente 3 y  el resto 3
Teniendo 3=42-39
Ahora divido 13 entre del resto obtenido que es 3 y nos da cociente 4 y resto 1
Teniendo 1=13-3.4
Sustituyendo la primera igualdad:
1=13-3.4=13-(42-39).4=13-(42-3.13).4 =13.5-42.4
En resumen tengo  1=13.5-42.4
Multiplicamos la congruencia anterior por 2 y tenemos: 2=13.10-42.4
RESULTADO X=10

[Luis Fuentes]

Hola
 

En resumen tengo  1=13.5-42.4

Pero veamos. Está claro que:

\( 13\cdot 5-42\cdot 4=65-168\neq 1 \)

Entonces tan sólo haciendo esos producto tu mismo deberías de darte cuenta de que tu resultado no está bien.

Si revisamos con calma tus cuentas vemos que el error está aquí:

1=13-3.4=13-(42-39).4=13-(42-3.13).4 =13.5-42.4

\( 13-(42-3\cdot 13)\cdot 4=13-42\cdot 4+12\cdot 13=13\cdot 13-42\cdot 4 \).

Saludos.