[IntelBook]

Tengo una duda en el paso de inducción.

Veamos:

Si \( P(1) : 1 = 1^2 \) es verdadero,

Suponemos que es cierta esta hipótesis de inducción:

\( P(n) : 1 + 3 + ... (2n-1) = n^2   \)
*¿Esto es porque el enésimo nombre impar es \( 2n - 1 \)? ¿por qué 2 multiplica a n?

Luego intentamos probar:

\( P(n+1): 1 + 3 + ... + (2n-1) + (2(n+1) -1) = (n+1)^2 \) ya que si P(n) es verdadero entonces también lo es\(  P(n+1) \)

En el siguiente paso me lío y agradecería que me lo explicaseis con detalle:

\( 1+3+...+(2n-1)+(2n+1) = (n+1)^2 \)

¿por qué cambia el signo negativo a positivo en \( 2n-1 \)? ¿y cómo llega al resultado\(  (n+1)^2 \)?


Muchas gracias por cualquier ayuda.

[Piockñec]

No sé bien cómo va eso de la inducción, aunque por este foro creo haberme enterado de cómo funciona 
En cuanto a tus dudas,
Un número par se escribe 2*n, ya que al dividir por 2 te quedará n, que es un número natural. Es decir, queda resto=0, un entero.
Un número impar, por tanto, es 2n+1... o 2n-1, sólo que en este caso n no puede ser 0. Empieza en 1. Sino saldrían números negativos.
Pero si uno empieza en tu sucesión a decir... 1... 3... 5... 7... está haciendo [2*(1)-1=]1 +[2*(2)-1=]3 + ... lo ves? 2n-1. Y empieza en n=1, no en n=0.

Entonces, empezando con la inducción en sí, la hipótesis se demuestra para el caso n=1. ¿Y para el resto? Pues si funciona para P(n), debe funcionar también para P(n+1). Pones P(n), como has hecho... pones P(n+1), como has hecho... y simplificas:

Luego intentamos probar:
\( P(n+1): 1 + 3 + ... + (2n-1) + (2(n+1) -1) = (n+1)^2 \) ya que si P(n) es verdadero entonces también lo es\(  P(n+1) \)

\( \color{red}{P(n+1): 1 + 3 + ... + (2n-1) + (2n+2 -1) = (n+1)^2} \)

\( P(n+1): 1+3+...+(2n-1)+(2n+1) = (n+1)^2 \)

¿Lo ves ahora?

[Carlos Ivorra]

Piockñec ya te ha explicado que \( 2(n+1)-1)=2n+1 \). Respecto del otro miembro, por hipótesis de inducción sabes que   \( 1 + 3 + ... (2n-1) = n^2   \), luego, sumando \( 2n+1 \) a ambos miembros obtenemos \( 1 + 3 + ... (2n-1) + (2(n+1)-1) = n^2 +2n+1=(n+1)^2  \).

[IntelBook]

Esto es lo que no tengo claro:

\( 1 + 3 + ... (2n-1) + (2(n+1)-1) = n^2 +2n+1=(n+1)^2  \)

De la suma de los paréntesis \( (2n-1)+(2n+1) \) se obtiene \( n^2 \)??

Muchas gracias.

[Carlos Ivorra]

Esto es lo que no tengo claro:

\( 1 + 3 + ... (2n-1) + (2(n+1)-1) = n^2 +2n+1=(n+1)^2  \)

De la suma de los paréntesis \( (2n-1)+(2n+1) \) se obtiene \( n^2 \)??

No. La hipótesis de inducción es que de la suma \( 1+\cdots + (2n-1) \) se obtiene \( n^2 \). Sabiendo esto, si a la suma le añades un sumando más, a saber, \( (2(n+1)-1 \), que es lo mismo que \( 2n+1 \), el resultado será la suma de los términos anteriores, que ya sabes que es \( n^2 \), más el nuevo sumando, que es \( 2n+1 \), luego la suma con un sumando más da \( n^2+2n+1=(n+1)^2 \).

[IntelBook]

Gracias.

¿Y en el caso de cualquier suma de n nombres naturales consecutivos?

Si tenemos que:

\( P(1) : 1 = \displaystyle\frac{1(1+1)}{2} = \displaystyle\frac{2}{2} = 1 \)

Entonces, si queremos probar que \( P(n+1) : 1 + 2 + ... + (n+1) = \displaystyle\frac{(n+1)}{2} [(n+1)+1] \) si su hipótesis de inducción es \( = \displaystyle\frac{n}{2}(n+1) \)

¿cómo se llega a su demostración?

Muchas gracias nuevamente.

[Carlos Ivorra]

Pues igual.

Sabes que \( 1+\cdots +n = n(n+1)/2 \). Ahora suma \( n+1 \) a los dos miembros y comprueba que \( n(n+1)/2+n+1 = (n+1)(n+2)/2 \).

[IntelBook]

Gracias Carlos.

Una duda, ¿cómo se obtiene esta igualdad?

\( \displaystyle\frac{n^2(n+1)^2+4(n+1)^3}{4} = \displaystyle\frac{(n+1)^2(n^2+4n+4)}{4} \)

Gracias

[Carlos Ivorra]

Saca factor común \( (n+1)^2 \) en el numerador de la fracción de la izquierda.