[Héctor Manuel]

De una bolsa con n bolas, blancas y negras, se saca una bola que resulta ser blanca;  esta se devuelve a la bolsa y se saca otra que también es blanca.  Si esta se devuelve a la bolsa, demostrar que la probabilidad de que la siguiente sea negra es \( \displaystyle\frac{n-1}{2(2n+1)} \)

¿sugerencias?... gracias

[Hernán_BsAs]

A ver si entendi bien, hay n bolas en total sin saber cuantas blancas y cuantas negras?
Sugiero que el que hayas sacado dos blancas al principio solo dice una cosa, hay al menos una blanca... No se en que te podría ayudar a predecir que va a pasar, puesto que la probabilidad no depende de lo que haya pasado antes.

[Jabato]

Si en la bolsa hay p bolas blancas y q negras, con un total de n bolas, la probabilidad de sacar bola negra es q/n. Puesto que hay n - 1 valores posibles para q, (al menos hay una blanca y una negra) podríamos razonar en la siguiente forma:

La probabilidad de que q valga i es 1/(n - 1), con i variando entre 1 y n - 1, y la probabilidad de sacar bola negra en cada caso es i/n

La probabilidad total vendrá dada por:

\( \displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}{\displaystyle\frac{1}{(n-1)}\displaystyle\frac{i}{n}}=\displaystyle\frac{1}{2} \)

Creo que en este enunciado hay algo que no cuadra.

Saludos, Jabato.
 

[Hernán_BsAs]

Pensandolo mejor, creo que el enunciado tiene bastante sentido. Habría que pensarlo con Bayes: Sea \( A \) el suceso en la tercera sacada sale negra , \( N_q \) hay q negras y \( C \) en las dos primeras sale blanca. Entonces \( P(A/C)=\displaystyle\frac{P(A\cap{C})}{P(C)}=\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{q=0}^n{P(A\cap{C}/N_q)P(N_q)}}{P(C)}=\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{q=0}^n{P(A\cap{C}/N_q)P(N_q)}}{\displaystyle\sum_{q=0}^n{P(C/N_q)P(N_q)}}=(1) \)
Estoy considerando el espacio muestral sin suponer que paso nada en las dos primeras sacadas, asi que \( P(N_q)=1/(n+1) \). Además, \( P(N\cap{C}/N_q)=(\displaystyle\frac{n-q}{n})^2 \displaystyle\frac{q}{n} \) porque es la probabilidad que salgan 2 blancas en las primeras dos y una negra en la tercera sabiendo que hay q negras. También tenemos que \( P(C/N_q)=(\displaystyle\frac{n-q}{n})^2 \).
Así \( (1)=\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{q=0}^n{\displaystyle\frac{(n-q)^2 q}{(n+1)n^3}}}{\displaystyle\sum_{q=0}^n{\displaystyle\frac{(n-q)^2}{n^2 (n+1)}}}=\displaystyle\frac{1}{n} \displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{q=0}^n{(n-q)^2 q}}{\displaystyle\sum_{q=0}^n{(n-q)^2}} \).
De acá trabajando un poco se obtiene el resultado.
Saludos.

[Hernán_BsAs]

Calculo que debe haber argumentos que simplifiquen la cuenta, u otra forma más corta, yo lo resolví por la "fuerza bruta".
Saludos