[davidmet]

Hola, ¿me pueden ayudar con este ejercicio de álgebra de conjuntos?

Dar tres conjuntos A, B , y C que ejemplifiquen que el producto cartesiano no es asociativo

[teeteto]

Basta con que tomes A, B y C formados cada uno de ellos por un único elemento.

\( A=\{a\}, B=\{b\}, C=\{c\} \).

\( (A\times B)\times C=\{((a,b),c)\} \)

\( A\times (B\times C)=\{(a,(b,c))\} \)

Y claramente (espero) estos dos conjuntos son distintos

[Fernando Revilla]

Algunos autores comentan:

Convendremos en poner \( (A\times B)\times C=A\times (B\times C) \), lo cual equivale a admitir la propiedad asociativa del producto cartesiano de conjuntos.

No hay contradicción en tal convenio, sencillamente identificamos los elementos de \( (A\times B)\times C \) con los de \( A\times (B\times C) \) por biyección canónica.

[teeteto]

Si, pero una cosa es biyección y otra igualdad.

[Fernando Revilla]

Si, pero una cosa es biyección y otra igualdad.

Claro, si biyección fuera lo mismo que igualdad, entonces no necesitaríamos el convenio. Tampoco es igual \( \mathbb{Z}\times \{0\} \) a \( \mathbb{Z} \) y sin embargo lo identificamos en la conocida construcción de \( \mathbb{Q} \). En caso contrario, los enteros no estarían contenidos en los racionales.

[teeteto]

Eso si te empeñas en que los racionales son el cociente por una relación de equivalencia, bla, bla... lo cual, para mi gusto, es un exceso de formalismo.