[LeoAnalítico]

Hola tengo unas dudas con respecto a este tema. Uno, supongamos que un conjunto en \( r^n \) se cumpla las operaciones de suma usual, hace falta comprobar los cuatro axiomas de suma para saber si es un espacio vectorial?

Tambien quisiera saber si queremos conocer si es o no un espacio vectorial del tercer cuadrante en \( r^2 \) si queremos comprobar un axioma de la multiplicacion, ejemplo: \( a(x+y)=ax+ay \) Para a un escalar perteneciente a los reales. Obvio que se va a cumplir la igualdad para la multiplicacion usual, pero si a\( a<0 \) \( (a)(x,y) \) no va a pertener al conjunto del tercer cuadrante, ya ese conjunto no seria espacio vectorial?

Disculpe no coloque ni los acento y otros simbolos porque la laptop que tengo es de E.E.U.U

[feriva]

Hola tengo unas dudas con respecto a este tema. Uno, supongamos que un conjunto en \( r^n \) se cumpla las operaciones de suma usual, hace falta comprobar los cuatro axiomas de suma para saber si es un espacio vectorial?

Tambien quisiera saber si queremos conocer si es o no un espacio vectorial del tercer cuadrante en \( r^2 \) si queremos comprobar un axioma de la multiplicacion, ejemplo: \( a(x+y)=ax+ay \) Para a un escalar perteneciente a los reales. Obvio que se va a cumplir la igualdad para la multiplicacion usual, pero si a\( a<0 \) \( (a)(x,y) \) no va a pertener al conjunto del tercer cuadrante, ya ese conjunto no seria espacio vectorial?

Disculpe no coloque ni los acento y otros simbolos porque la laptop que tengo es de E.E.U.U

Hola, LeoAnalítico.

 1º Tienes que ir comprobando todas hasta que falle alguna; en cuanto falla alguna ya no es espacio vectorial y no hace falta seguir con las comprobaciones que queden.

2º El escalar "a" es general y, naturalmente, puede tomar cualquier signo y valor; si particularizas en un signo o en un valor pues claro que no cubrirá todo el espacio, pero porque tú has puesto una restricción que la definición no pone.

 Saludos.

[LeoAnalítico]

Hola tengo unas dudas con respecto a este tema. Uno, supongamos que un conjunto en \( r^n \) se cumpla las operaciones de suma usual, hace falta comprobar los cuatro axiomas de suma para saber si es un espacio vectorial?

Tambien quisiera saber si queremos conocer si es o no un espacio vectorial del tercer cuadrante en \( r^2 \) si queremos comprobar un axioma de la multiplicacion, ejemplo: \( a(x+y)=ax+ay \) Para a un escalar perteneciente a los reales. Obvio que se va a cumplir la igualdad para la multiplicacion usual, pero si a\( a<0 \) \( (a)(x,y) \) no va a pertener al conjunto del tercer cuadrante, ya ese conjunto no seria espacio vectorial?

Disculpe no coloque ni los acento y otros simbolos porque la laptop que tengo es de E.E.U.U

Hola, LeoAnalítico.

 1º Tienes que ir comprobando todas hasta que falle alguna; en cuanto falla alguna ya no es espacio vectorial y no hace falta seguir con las comprobaciones que queden.

2º El escalar "a" es general y, naturalmente, puede tomar cualquier signo y valor; si particularizas en un signo o en un valor pues claro que no cubrirá todo el espacio, pero porque tú has puesto una restricción que la definición no pone.

 Saludos.

Estoy de acuerdo contigo, disculpa la molestia, pero sigo con la pregunta de la multiplicacion usual y la suma usual, es una operacion que siempre que compruebo los axiomas para cualquier conjunto, se cumple los axiomas que corresponde a las operaciones usuales, supongo que esto tiene que ver en parte a la gráfica de suma de vectores, que crean otro vector suma perteneciente al espacio vectorial, sin embargo todavia no estoy seguro. Saludos y gracias.

[feriva]

Estoy de acuerdo contigo, disculpa la molestia, pero sigo con la pregunta de la multiplicacion usual y la suma usual, es una operacion que siempre que compruebo los axiomas para cualquier conjunto, se cumple los axiomas que corresponde a las operaciones usuales, supongo que esto tiene que ver en parte a la gráfica de suma de vectores, que crean otro vector suma perteneciente al espacio vectorial, sin embargo todavia no estoy seguro. Saludos y gracias.

 Hola. Tiene que ver principalmente con lo que es un homomorfismo o aplicación lineal; eso es lo que es la combinación lineal de vectores. Un Espacio vectorial puede ser de las dimensiones que sea, dos tres o más,  y una vez que lo tenemos definido, las dimensiones y todo, cualquier vector de ese espacio se puede expresar como combinación lineal de otros del mismo espacio. Pero la cosa no va tanto enfocada a cuadrantes, eso podría ser un “trozo del espacio” de erre dos; si hablamos de un plano, por ejemplo, el espacio vectorial es todo el plano, si hablamos de un espacio de erre tres, el espacio es todo erre tres.
 La suma vectorial es más propia del espacio vectorial afín; si te refieres a esto

\(  \vec{OP}+\vec{PQ}=\vec{OQ} \)

 necesitas definir puntos.

Saludos.

[Sonata]

Hola tengo unas dudas con respecto a este tema. Uno, supongamos que un conjunto en \( r^n \) se cumpla las operaciones de suma usual, hace falta comprobar los cuatro axiomas de suma para saber si es un espacio vectorial?

Tambien quisiera saber si queremos conocer si es o no un espacio vectorial del tercer cuadrante en \( r^2 \) si queremos comprobar un axioma de la multiplicacion, ejemplo: \( a(x+y)=ax+ay \) Para a un escalar perteneciente a los reales. Obvio que se va a cumplir la igualdad para la multiplicacion usual, pero si a\( a<0 \) \( (a)(x,y) \) no va a pertener al conjunto del tercer cuadrante, ya ese conjunto no seria espacio vectorial?

Disculpe no coloque ni los acento y otros simbolos porque la laptop que tengo es de E.E.U.U

Hola LeoAnalítico.

Tienes que comprobar al menos las dos propiedades de existencia, es decir, que el cero está en el subconjunto y que para cada elemento del subconjunto su opuesto también pertenece a él.

Las otras dos propiedades son automáticas.

De todas formas, para comprobar si un subconjunto \(  U \) de un espacio vectorial \( E \) es un espacio vectorial, basta con que compruebes que si \(  e,e'\in U\Rightarrow \lambda e+\mu e'\in U,\  \forall \lambda,\mu\in\mathbb{R}. \) Recuerda que todo subespacio vectorial de un espacio vectorial es un espacio vectorial en sí mismo.

Un saludo

PD: He supuesto que donde decía \( r^n \) querías poner \(  \mathbb{R}^n. \)